Kronecker-szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.

Definíció[szerkesztés]

Ha -es és -es mátrix, akkor a Kronecker-szorzat nem más, mint

azaz az A mátrix minden elemét megszorozzuk a B mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete .

Részletesebben:

Példák[szerkesztés]

Első példa[szerkesztés]

Második példa[szerkesztés]

Tulajdonságai[szerkesztés]

A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában

Azonban mindig vannak permutációmátrixok, hogy

Hogyha és négyzetes, akkor választók úgy, hogy legyen.

A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis

A Kronecker-szorzás asszociatív:

A transzponáltakra teljesül, hogy:

.

A komplex konjugált mátrixra:

.

Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:

A Kronecker-szorzat rangja:

.

Ha mérete és mérete , akkor a Kronecker-szorzat determinánsa

.

Ha az és a sajátértékei, akkor

az mátrix sajátértékei.

Ha invertálható, akkor

.

Legyenek és komplex mátrixok a

dimenziókkal; ekkor léteznek az és a szorzatok, és[1]

.

A pszeudoinverzekre

.

Általában, ha és és általánosított inverzei, akkor az általánosított inverze.

Mátrixegyenletek[szerkesztés]

Adva legyenek az mátrixok, és keressük azt az mátrixot, amire . Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:

ahol a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az mátrix oszlopait , ekkor az egy hosszú oszlopvektor. Hasonlóan, egy oszlopvektor.

A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan , akkor az mátrix is megvan.

Az ekvivalencia bizonyítása[szerkesztés]

Teljesül

ahol

Mátrix együtthatós egyenletek[szerkesztés]

Az és indexekhez legyenek adva az mátrixok. Keressük az mátrixokat, amelyekre megoldjuk az

egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:

Kapcsolat a tenzorszorzással[szerkesztés]

Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti és lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy

lineáris leképezés

a -vel vett tenzorszorzatok között.

Hogyha bázist választunk az és tereken, akkor a lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot , és a ábrázolását ! Ekkor az Kronecker-szorzat a tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha a bázisa, és a bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.

További alkalmazásai[szerkesztés]

A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.

A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.

Kapcsolódó műveletek[szerkesztés]

A Tracy‑Singh és a Khatri‑Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix mi × nj méretű Aij blokkokra, a B p × q-s mátrix pk × ql méretű Bkl blokkokra particionálva, ahol Σi mi = m, Σj nj = n, Σk pk = p és Σl ql = q.

Tracy‑Singh-szorzat[szerkesztés]

A Tracy‑Singh-szorzat definíciója:[2][3]

ahol a szorzat ij indexű blokkja az mi p × nj q méretű AijB mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az mi pk × nj ql méretű AijBkl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.

Példa:

Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:

kapjuk, hogy:

Khatri‑Rao-szorzat[szerkesztés]

A Khatri‑Rao-szorzat definíciója:[4][5]

, ahol az ij indexű blokk mipi × njqj méretű Kronecker-szorzata a megfelelő blokkoknak, feltéve, hogy a két mátrix blokkjainak száma azonos. A szorzat mérete (Σi mipi) × (Σj njqj).

Példák:

1. példa:

2. példa: oszloponkénti Khatri‑Rao-szorzat:

kapjuk, hogy:

Története[szerkesztés]

A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16
  2. Tracy, DS, Singh RP. 1972. A new matrix product and its applications in matrix differentiation. Statistica Neerlandica 26: 143–157.
  3. Liu S. 1999. Matrix results on the Khatri-Rao and Tracy-Singh products. Linear Algebra and its Applications 289: 267–277. (pdf)
  4. Khatri C. G., C. R. Rao (1968), "Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions", Sankhya 30: 167–180, <http://sankhya.isical.ac.in/search/30a2/30a2019.html>
  5. Zhang X, Yang Z, Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri-Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes 2: 117–124

Források[szerkesztés]