Exponenciális függvény

Az exponenciális függvény az egyik legfontosabb függvény a matematikában. Szokásos jelölése e^x vagy exp(x), ahol e egy matematikai állandó, a természetes alapú logaritmus alapja, értéke körülbelül 2,718281828, és Euler-féle számnak is szokták hívni. Alapvető jelentőséggel bír mind a matematika elméletében, mind a mérnöki, pénzügyi, közgazdaságtani stb. alkalmazásokban.

Általában az exponenciális függvény fogalmát általánosabban használják és kiterjesztik az összes ka^x alakú függvényre, ahol az a szám az alap, amely bármely pozitív valós szám lehet az egy kivételével (tehát a∈R⁺\{1}), de határozott névelővel ellátva („az exponenciális függvény”) mindig az e alapú exponenciális függvényt jelenti (e szócikk is utóbbit tárgyalja először).

Az exponenciális függvény görbéje, x=0-nál értéke 1, y értéke minden pontban egyenlő a görbe meredekségével. A görbe nem érinti a vízszintes tengelyt.

Valós x változóra az y=e^x függvény görbéje mindig pozitív (az x tengely fölött helyezkedik el) és növekvő (balról jobbra nézve). Soha nem érinti az x tengelyt, de tetszőlegesen megközelíti, így az x tengely a görbének vízszintes aszimptotája. Inverz függvénye a természetes logaritmus függvény, az ln(x), mely az összes pozitív x-re értelmezett.

Általában az x változó tetszőleges valós vagy komplex szám lehet, sőt más, teljesen eltérő matematikai objektum is.

Tulajdonságok

Legegyszerűbben az mondható, hogy az exponenciális függvény állandó mértékben többszöröződik. Például egy baktériumkultúra, amely „minden órában megduplázódik” hozzávetőlegesen exponenciális függvénnyel írható le (a diszkrét problémát folytonossá absztrahálva), ugyanúgy, mint egy autó értéke, amely minden évben 10%-kal csökken.

A természetes logaritmus segítségével általánosabb exponenciális függvények definiálhatók. A

$\,\!\,a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}$

függvény minden a > 0-ra és minden valós x-re értelmezve van, ezt az a alapú exponenciális függvénynek nevezik. Megjegyzendő, hogy bár az $\,a^{x}$ ezen definíciója az előbb valós számokra definiált $\,e^{x}$ függvényen alapszik, ettől független definíció is adható.

Megjegyzendő, hogy a fenti egyenlet teljesül a = e-re is, mivel

$\,\!\,e^{x\ln e}=e^{x\cdot 1}=e^{x}.$

Az exponenciális függvény néhány tulajdonsága:

$\,\!\,a^{0}=1$

$\,\!\,a^{1}=a$

$\,\!\,a^{x+y}=a^{x}a^{y}$

$\,\!\,a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}$

$\,\!\,{1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}$

$\,\!\,a^{x}b^{x}=(ab)^{x}$

Ezek az azonosságok igazak minden pozitív valós a és b számra és minden valós x és y-ra. A törtet és gyökvonást tartalmazó kifejezések egyszerűbbé tehetők az exponenciális jelölés bevezetésével:

$\,{1 \over a}=a^{-1}$

és minden a > 0, valós számra b valós számra és n > 1 egész számra:

$\,{\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}.$

Deriválás és differenciálegyenletek

Az exponenciális függvény fontossága a matematikában és egyéb tudományokban a deriváltjának tulajdonságai révén jelentkezik. Nevezetesen:

${\frac {\mathop {\text{d}} }{\mathop {\text{d}} x}}e^{x}=e^{x}$

Vagyis az $e^{x}$ deriváltja saját maga. Pontosan a $ce^{x}$ alakú függvények (c konstans) azok, amelyeknek megvan ez a tulajdonsága. Ez más szóval azt jelenti, hogy:

• A görbe meredeksége minden pontban megegyezik a függvény értékével abban a pontban.
• A növekedés mértéke x értéknél a függvény értékével egyenlő az x értéknél.
• A függvény kielégíti az $\,y'=y$ differenciálegyenletet.
• A függvény a differenciáloperátor sajátértéke.

Igen sok differenciálegyenlet eredményez exponenciális függvényt, többek között a Schrödinger-egyenlet és a Laplace-egyenlet, valamint az egyszerű harmonikus rezgés. Igen sok esetben a keresett függvényt exponenciális függvény alakban is keressük, így a differenciálegyenlet egyes esetekben egyszerű algebrai egyenletté redukálható. Ez volt a motiváció a disztribúcióelmélet kialakulása mögött.

Tetszőleges alapú exponenciális függvényre:

${\frac {\mathop {\text{d}} }{\mathop {\text{d}} x}}a^{x}=(\ln a)a^{x}$

Így bármely exponenciális függvény deriváltja egy konstans szorozva a függvénnyel.

Ha a változó növekedésének vagy csökkenésének üteme arányos a méretével, akkor a változót egy állandó az idő exponenciális függvényének szorzataként írható fel. Erre példa a korlátozás nélküli népességnövekedés (lásd Malthus-féle katasztrófa) vagy a radioaktivitás csökkenése.

Ezen kívül bármely differenciálható f(x) függvényre alkalmazható a láncszabály:

${\frac {\mathop {\text{d}} }{\mathop {\text{d}} x}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$.

Exponenciális függvény segítségével lehet egy függvény Laplace- és Fourier-transzformáltját meghatározni.

Formális definíció

Az exponenciális függvényt igen sokféleképpen lehet definiálni végtelen sorokkal, például a következő hatványfüggvénysorral:

$\,e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

vagy az alábbi határértékkel:

$\,e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.$

Itt n! jelöli az n faktoriálist, x pedig bármely valós szám, komplex szám vagy a Banach-algebra eleme (például egy négyzetes mátrix) lehet.

Ezeknek a definícióknak részletes magyarázatára lásd: Angol Wikipedia szócikke.

Numerikus értékek

Az exponenciális függvény értékének kiszámításához az alábbiak szerint érdemes átírni a végtelen sort:

$\,e^{x}={1 \over 0!}+x\,\left({1 \over 1!}+x\,\left({1 \over 2!}+x\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)$

$\,=1+{x \over 1}\left(1+{x \over 2}\left(1+{x \over 3}\left(1+\cdots \right)\right)\right)$

A fenti kifejezés az exponenciális, $e^{x}$ , függvény Maclaurin-sora, a maradéktag pedig:

$R_{n}(x)$ = ${\frac {e^{\Theta x}}{(n+1)!}}$$x^{n+1}$ (0 < θ < 1) .

Az első kifejezés gyorsan konvergál, ha x kisebb egynél. Ennek biztosítás érdekében felhasználható az alábbi azonosság:

x	$=$ z + f
$\,e^{x}\,$	$\,=e^{z+f}\,$
	$\,=e^{z}\times \left[{1 \over 0!}+f\,\left({1 \over 1!}+f\,\left({1 \over 2!}+f\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)\right]$

ahol $\,z$ az $\,x$-nek az egész része,

$\,f$ az $\,x$-nek a tört része, így

$\,f$ mindig kisebb, mint 1 és $\,z$ hozzáadható $\,x$-hez.

Az e^z konstans pedig úgy számítható ki, hogy e-t önmagával szorozzuk z-szer, ha $z\geq 0$ , vagy ${\frac {1}{e}}$- et szorozzuk önmagával z-szer, ha z < 0.

Mivel f < 1, a sorozat gyorsan konvergál és a maradéktag

$0\leq R_{n}(g)<{\frac {3}{(n+1)!}}q^{n+1}$ .

A tagok rekurrenciás kapcsolata:

$T_{0}=u_{0}=1$ , $u_{n+1}=u_{n}\cdot {\frac {x}{n+1}}$ .

Az exponenciális függvényt számító algoritmus:

function TaylorExp( in: x, ε out: T )
u ← 1
n ← 0
T ← 1
repeat
u ← u*(x/n+1)
T ← T + u
n ← n + 1
until |u| < ε
return T
end function

Példa: Alkalmazásként határozzuk meg ${\sqrt {e}}$-t $10^{-7}$ hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet:

$u_{0}=0$ , $u_{n+1}=u_{n}{\frac {1}{2(n+1)}}$ , k=(1, 2, . . .)

	un	Tn
0	1	1
1	0.5	1.5
2	0.125	1.625
3	0.0208333333333	1.64583333333
4	0.00260416666667	1.6484375
5	0.000260416666667	1.64849791667
6	2.17013888889e-05	1.64871961806
7	1.55009920635e-06	1.64872116815
8	9.68812003968e-08	1.65872126504

A pontos érték 1.6487212707...

Források

• Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2008

Kapcsolódó szócikkek

• Logaritmus