Eisenstein-egész

Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az $a+b\omega$ alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

$\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$

az „első” harmadik egységgyök.

Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel $\omega ^{2}=-\omega -1$. Az Eisenstein-egészek így ${\mathbf {Z} }[\omega ]$-val jelölt gyűrűt alkotnak.

Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a ${\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}})=\{a+b\omega :a,b\in {\mathbf {Q} }\}$ számtestbe eső algebrai egészek.

Norma

Az $a+b\omega$ Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

$N(a+b\omega )=(a+b\omega )(a+b\omega ^{2})=a^{2}-ab+b^{2}$

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak $a=b=0$ esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz $N(xy)=N(x)N(y)$ mindig teljesül.

Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek

Hat Eisenstein-egész normája egy: $1,-1,\omega ,-\omega ,\omega ^{2},-\omega ^{2}$. Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. $1-\omega$ Eisenstein-prím és $3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}$. Ha p közönséges prím és $p\equiv 2{\pmod {3}}$ akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és $p\equiv 1{\pmod {3}}$ akkor $p=\pi {\overline {\pi }}$ egy alkalmas $\pi$ Eisenstein-prímre. Így például, $7=(3+\omega )(2-\omega )$.

Egyértelmű prímfaktorizáció

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így ${\mathbf {Z} }[\omega ]$ euklideszi gyűrű: ha $a,b\in {\mathbf {Z} }[\omega ]$, $b\neq 0$ akkor létezik $q$ és $r$, hogy $a=bq+r$ és $N(r)<N(b)$. Innen adódik, hogy ${\mathbf {Z} }[\omega ]$-ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi =xy$ esetén x vagy y asszociáltja $\pi$-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi \mid xy$ esetén $\pi \mid x$ vagy $\pi \mid y$ teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható $x=\pi _{1}\cdots \pi _{r}$ alakban, ahol $\pi _{1},\dots ,\pi _{r}$ prímelemek, továbbá, ha $x=\rho _{1}\cdots \rho _{s}$ egy másik felírás, akkor $s=r$ és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re $\rho _{j}$ asszociáltja $\pi _{j}$-nek.

Lásd még

• algebrai számelmélet
• Gauss-egész

Források

Freud-Gyarmati: Számelmélet