Einstein-tenzor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét.[1] Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.[2]

Meghatározás[szerkesztés]

Az Einstein-tenzor () egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:

ahol a Ricci-tenzor, a metrikus tenzor,és a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:

Az Einstein-tenzor szimmetrikus:

és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes

Explicit kifejezés[szerkesztés]

A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:

ahol a Kronecker-tenzor és a Christoffel szimbólum meghatározása:

Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltünnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerüsődik:

ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:

Nyom[szerkesztés]

Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor () definíciója egyenletének összevonásával: dimenzióban:

A 4 dimenzió speciális esete adja a -t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív , a Ricci-tenzor nyoma.

Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.

Felhasználása az általános relativitáselméletben[szerkesztés]

Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:

mely a geometria egységrendszerben:

Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nem lineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerüen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:

Irodalom[szerkesztés]

  • Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini: Gravitation and Spacetime (Second edition ed.). (hely nélkül): W. W. Norton & Company. 1994. ISBN 0393965015  
  • Martin, John Legat: Gravitation General Relativity: A First Course for Physicists. (hely nélkül): Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edition ed.). Prentice Hall. 1995. ISBN 0132911965  
  • Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
  • Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
  • Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. http://www.slideshare.net/nagygp/a-differencilgeometria-alapjai
  2. Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. (Hozzáférés ideje: 2006. szeptember 12.)