Einstein-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Riemann-geometriában a tér metrikáját a metrikus tenzor () határozza meg. Az általános relativitáselméletben a tömeg térbeli eloszlása határozza meg a metrikus tenzort. Az ezen összefüggést leíró tenzoregyenletet (ami 10 független skalár egyenletet jelent) hívjuk Einstein-egyenleteknek.

Matematikai alak[forrásszöveg szerkesztése]

Az Einstein-egyenletek matematikai alakja a következő:

ahol az Einstein-tenzor, a kozmológiai állandó, a gravitációs állandó, a fénysebesség, pedig az energia-impulzus tenzor.

Ezt először Albert Einstein közölte 1915-ben.[1] Az Einstein-tenzor kifejezhető a Riemann-féle görbületi tenzor nyomával, a Ricci-tenzorral a következő alakú (ezt 1915 végén Einsteintől függetlenül David Hilbert is levezette):

Tehát az Einstein-egyenletek teljes alakja:

Fizikai vonatkozások[forrásszöveg szerkesztése]

A fenti tenzoregyenlet négy dimenzióban (3 tér- és 1 időváltozó esetén) 16 skaláregyenletet jelent. Az Einstein-egyenletek szimmetriája miatt ezek közül csak 10 független. Ez a 10 független egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, melynek megoldása szolgáltatja a gravitáció modern fizikáját.

Közelítések[forrásszöveg szerkesztése]

Anyagmentes eset[forrásszöveg szerkesztése]

Vákuum esetén (tehát ha nincs anyag a téridőben) az Einstein-egyenletek jobb oldala zérus. Ekkor tehát

Ezt -vel összeejtve

adódik, ahonnan

következik. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe a következőt kapjuk

Ezek az általános relativitáselmélet üres-tér egyenletei. Ezen egyenletek megoldásai szolgáltatják az összes vákuum-megoldásokat. Például a Schwarzschild vagy a Kerr megoldásokat.

Irodalom[forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[forrásszöveg szerkesztése]

  1. Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. (Hozzáférés ideje: 2006. szeptember 12.)  

Források[forrásszöveg szerkesztése]