Wedderburn-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

A tételt először Joseph Wedderburn[1] bizonyította be 1905-ben. Azóta más matematikusok újabb bizonyításokat is találtak; köztük talán Ernst Witt[2] alábbi gondolatmenete a legismertebb[3].

Bizonyítás (Witt, 1931)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel: Minden véges ferdetest kommutatív.

Bizonyítás: Legyen \mathbb D véges ferdetest. Tekintsük \mathbb D centrumát; ez test. Jelöljük ezt a testet \mathbb F-fel, elemszámát q-val. \mathbb D n dimenziós vektortér F fölött egy n természetes számra.

\mathbb D elemszáma ezzel qn, ezért multiplikatív csoportja qn-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma F multiplikatív csoportja. Legyen a \in \mathbb D \setminus \mathbb F.

Vegyük a centralizátorát. Ez azokból az elemekből áll, amikkel a felcserélhető. Ez részferdetest \mathbb D-ben; elemszáma qd, ahol d osztója n-nek. Ennek multiplikatív csoportja megegyezik a \mathbb D multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.

\mathbb D multiplikatív csoportjának osztályegyenletével

q^n-1=q-1 + \sum_{d<n:d \mid n} \frac{q^n-1}{q^d-1}

Az n-edik körosztási polinom osztója az \frac{x^n-1}{x^d-1} hányadosnak minden d < n osztóra.

Ebből \Phi _n(q) \mid q-1, ahol q \geq 2. Ez csak úgy lehet, hogy n = 1, tehát \mathbb F= \mathbb D.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. J. H. M. Wedderburn: A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352.
  2. Ernst Witt Über die Kommutatitivät endlicher Schiefkörper Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg vol. 8 p413 1931
  3. Magyarul és részletesen ld. M. Aigner – G. M. Ziegler: Bizonyítások a Könyvből. Typotex, Bp., 2004; ch. 5., p. 25-28