Wedderburn-tétel

Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

A tételt először Joseph Wedderburn bizonyította be 1905-ben. Azóta más matematikusok újabb bizonyításokat is találtak; köztük talán Ernst Witt alábbi gondolatmenete a legismertebb .

Bizonyítás (Witt, 1931)

Tétel: Minden véges ferdetest kommutatív.

Bizonyítás: Legyen $\mathbb D$ véges ferdetest. Tekintsük $\mathbb D$ centrumát; ez test. Jelöljük ezt a testet $\mathbb F$-fel, és elemszámát q-val. $\mathbb D$ n dimenziós vektortér F fölött egy n természetes számra.

$\mathbb D$ elemszáma ezzel qⁿ, ezért multiplikatív csoportja qⁿ-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma F multiplikatív csoportja. Legyen $a \in \mathbb D \setminus \mathbb F.$

Vegyük a centralizátorát. Ez azokból az elemekből áll, amikkel a felcserélhető. Ez részferdetest $\mathbb D$-ben; elemszáma q^d, ahol d osztója n-nek. Ennek multplikatív csoportja megegyezik a $\mathbb D$ multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.

$\mathbb D$ multiplikatív csoportjának osztályegyenletével

$q^n-1=q-1 + \sum_{d<n:d \mid n} \frac{q^n-1}{q^d-1}$

Az n-edik körosztási polinom osztója az $\frac{x^n-1}{x^d-1}$ hányadosnak minden d < n osztóra.

Ebből $\Phi _n(q) \mid q-1,$ ahol $q \geq 2.$ Ez csak úgy lehet, hogy n = 1, tehát $\mathbb F= \mathbb D.$

Források

• Pelikán József: Algebra