Termodinamikai béta

A termodinamikai béta egy fizikai mennyiség a statisztikus mechanikában, mely egy rendszer termodinamikai hőmérsékletéhez ($T$), kapcsolódik. Számítása:

$\beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}\,,$

ahol $k_{\mathrm {B} }$ a Boltzmann-állandó. A termodinamikai béta úgy tekinthető, mint kapcsolat egy fizikai rendszer statisztikus értelmezése, és a termodinamika között. Néha alapvetőbb mennyiségnek tekinthető, mint a hőmérséklet.

Statisztikus értelmezés

Statisztikai szempontból, a β egy numerikus mennyiség, mely kapcsolódik két, egyensúlyban lévő makroszkopikus rendszerhez. A pontos megfogalmazás a következő: Tekintsünk két rendszert, 1 és 2, termikus kapcsolatban, a megfelelő energiákkal, E₁ és E₂. Feltételezzük, hogy E₁ + E₂ = valamilyen E konstans. Minden egyes rendszer mikroállapotainak számát jelöljük Ω₁ and Ω₂. A feltételezésünk szerint Ω_i csak E_i-től függ. Így a kombinált rendszer mikroállapotainak a száma:

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).\,$

β-át levezetjük a következő alapvető feltételezésből: Ha a kombinált rendszer eléri az egyensúlyi állapotát, az Ω eléri maximális értékét. Más szavakkal, a rendszer természetesen törekszik a mikroállapotok maximális számára, ezért az egyensúlyban,

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Azonban E₁ + E₂ = E, ebből következik

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

így

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

azaz:

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{at equilibrium.}}$

A fenti összefüggésből következik a β definíciója:

$\beta \equiv {\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Termodinamikai értelmezés

Amikor két rendszer egyensúlyban van, akkor hasonló T termodinamikai hőmérséklettel rendelkeznek. Ebből azt várnánk el, hogy β összefügg valamilyen módon a T-vel. Az összefüggés a következő módon vezethető le:

$S=k\ln \Omega ,\,$

ahol k a Boltzmann-állandó. Így

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k}}dS.$

β-át behelyettesítve:

$\beta ={\frac {1}{k}}{\frac {dS}{dE}}.$

Összehasonlítva a termodinamikai formulával

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

kapjuk:

$\beta ={\frac {1}{kT}}={\frac {1}{\tau }}$

ahol $\tau$-t néha a rendszer alapvető hőmérsékletének nevezik, egységnyi energiára számolva.

Irodalom

• Csákány Antal - Flórik György - Gnadig Péter - Holics László - Juhász András - Sükösd Csaba - Dr. Tasnádi Péter: Fizika. Budapest: Akadémiai Kiadó Zrt. 2011. ISBN 9789630584876  
• Hraskó Péter: Termodinamika és statisztikus fizika

Kapcsolódó szócikkek

• Boltzmann-tényező
• Boltzmann-eloszlás
• Termodinamika
• Ising modell
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Termodinamikai hőmérséklet
• Energia
• Statisztikus fizika