Boltzmann-tényező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Boltzmann-tényező a fizika egyik szakterminusa, egy súlyzó tényező, amely meghatározza egy többállapotú rendszerben az i állapotban lévő részecske relatív valószínűségét, amikor a rendszer termodinamikus egyensúlyban van T hőmérsékleten.

Normál esetben a Boltzmann-tényezőt a kanonikus halmazok leírásánál alkalmazzák. A nagy kanonikus halmazok esetén a Gibbs-tényező használata előnyösebb, mely figyelembe veszi a részecske mozgását a rendszer és a környezet között. Annak a valószínűsége, hogy egy rendszer E_i állapotban van:

P(E_i) = \frac{1}{Z}\exp{(-\beta E_i \,)}

ahol \beta :

\beta = \frac{1}{k_BT}

Z_{} a partíció függvény (statisztikai mechanika) k_B a Boltzmann-állandó, T a hőmérséklet E_i az i állapot energiája

A Boltzmann-tényező :

\exp{(-\beta E_i \,)} = \exp{(-E_i/k_BT)}

Levezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsünk egy egyatomos rendszert E_1, E_2, ... energia állapotokkal. Ez a rendszer kapcsolatban van egy hőtárolóval és a teljes energia:

E = E_s + E_r = konstans

ahol E_s a rendszer teljes energiája és a E_r a teljes tárolt energia. Egyensúlyban R és S állapotai száma \Omega többszöröse. Így a teljes energia :

\Omega_E \approx \Omega_R(E_R) - \Omega_S(E_S)

Az ekvipartíció-tételből következően annak valószínűsége, hogy egy atom E_j állapotban van, összefüggésben van a tároló állapotainak számával. Tekintsük a két valószínűség arányát:

\frac{P(E_2)}{P(E_1)} = \frac{\Omega_R(E-E_2)}{\Omega_R(E-E_1)}

az állapotok száma összefüggésbe hozható az entrópia elméletével a

S_R(E_j) = k_B \ln[\Omega_R(E-E_j)] kifejezésen keresztül

amely adja:

\frac{P(E_2)}{P(E_1)} = \frac{\exp{[\frac{S_R(E_2)}{k_B}]}}{\exp{[\frac{S_R(E_1)}{k_B}]}} = \exp\left[ \frac{S_R(E_2) - S_R(E_1)}{k_B}\right]

Az alapvető termodinamikus összefüggésből következik, hogy a tároló (a kémiai potenciált elhanyagolva):

dS_R = \frac{1}{T}[dU_R + PdV_R]

ahol S_R az entrópia, U_R a belső energia, P a nyomás, és V a térfogat.

Gázoknál indokolt feltételezni, hogy PdV_R \ll dU_R, így:

\Delta S_R = \frac{1}{T} \Delta U_R
\Delta S_R = \frac{1}{T}[U_R(E_2)-U_R(E_1)]

Energia tároláskor: E = E_R + E_i and U_R(E_j) = E-E_j melyből

\Delta S_R = -\frac{1}{T} (E_1-E_2) következik.

A valószínűség arányt behelyettesítve:

\frac{P(E_2)}{P(E_1)} = \exp(\frac{-[E_2-E_1]}{k_B T}) = \frac{\exp{(-\beta E_2)}}{\exp{(-\beta E_1)}}

ahol \beta egy tetszőlegesen definiált jel, a Boltzmann-állandó és a hőmérséklet szorzatának reciproka. A változók szeparálása után írhatjuk:

\frac{P(E_2)}{\exp{(-\beta E_2)}} = \frac{P(E_1)}{\exp{(-\beta E_1)}} = const = \frac{1}{Z}

és ezáltal:

P(E_i) = \frac{1}{Z}\exp{(-\beta E_i)}

Megjegyzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Boltzmann-tényező önmagában nem egy valószínűség, mert nincs normalizálva. A normalizáló tényező egy osztva a partíciófüggvénnyel, amely a Boltzmann-tényezők összege a rendszer összes állapotára vonatkozóan. Ez adja a Boltzmann-eloszlást.

A Boltzmann-tényezőből le lehet vezetni a következő statisztikákat: Maxwell–Boltzmann-statisztika, a Bose–Einstein-statisztika, és a Fermi–Dirac-statisztika, amelyek leírja a klasszikus részecskék mozgását, valamint a kvantummechanika bozonjait és fermionjait.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Charles Kittel, Herbert Kroemer: Thermal Physics. (hely nélkül): Freeman & Co.: New York. 1980.  
  • Wesson, John; et al: Tokamaks. (hely nélkül): Oxford University Press. 2004. ISBN 0198509227