Termodinamikai béta

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A termodinamikai béta egy fizikai mennyiség a statisztikus mechanikában, mely egy rendszer termodinamikai hőmérsékletéhez (T), kapcsolódik. Számítása:

\beta = \frac1{k_{\mathrm B}T} \,,

ahol k_{\mathrm B} a Boltzmann-állandó. A termodinamikai béta úgy tekinthető, mint kapcsolat egy fizikai rendszer statisztikus értelmezése, és a termodinamika között. Néha alapvetőbb mennyiségnek tekinthető, mint a hőmérséklet.


Statisztikus értelmezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Statisztikai szempontból, a β egy numerikus mennyiség, mely kapcsolódik két, egyensúlyban lévő makroszkopikus rendszerhez. A pontos megfogalmazás a következő: Tekintsünk két rendszert, 1 és 2, termikus kapcsolatban, a megfelelő energiákkal, E1 és E2. Feltételezzük, hogy E1 + E2 = valamilyen E konstans. Minden egyes rendszer mikroállapotainak számát jelöljük Ω1 and Ω2. A feltételezésünk szerint Ωi csak Ei-től függ. Így a kombinált rendszer mikroállapotainak a száma:

\Omega = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E_2) = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E-E_1)  . \,

β-át levezetjük a következő alapvető feltételezésből: Ha a kombinált rendszer eléri az egyensúlyi állapotát, az Ω eléri maximális értékét. Más szavakkal, a rendszer természetesen törekszik a mikroállapotok maximális számára, ezért az egyensúlyban,


\frac{d}{d E_1} \Omega = \Omega_2 (E_2)  \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) + \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) \cdot \frac{d E_2}{d E_1} = 0.

Azonban E1 + E2 = E, ebből következik

\frac{d E_2}{d E_1} = -1.

így

\Omega_2 (E_2)  \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) - \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) = 0

azaz:


\frac{d}{d E_1} \ln \Omega_1 = \frac{d}{d E_2} \ln \Omega_2 \quad \mbox{at equilibrium.}

A fenti összefüggésből következik a β definíciója:

\beta \equiv \frac{d \ln \Omega}{ d E}.

Termodinamikai értelmezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amikor két rendszer egyensúlyban van, akkor hasonló T termodinamikai hőmérséklettel rendelkeznek. Ebből azt várnánk el, hogy β összefügg valamilyen módon a T-vel. Az összefüggés a következő módon vezethető le:

S = k \ln \Omega, \,

ahol k a Boltzmann állandó. Így

d \ln \Omega = \frac{1}{k} d S .

β-át behelyettesítve:

\beta = \frac{1}{k} \frac{d S}{d E}.

Összehasonlítva a termodinamikai formulával

\frac{d S}{d E} = \frac{1}{T} ,

kapjuk:

\beta = \frac{1}{k T} = \frac{1}{\tau}

ahol \tau-t néha a rendszer alapvető hőmérsékletének nevezik, egységnyi energiára számolva.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Csákány Antal - Flórik György - Gnadig Péter - Holics László - Juhász András - Sükösd Csaba - Dr. Tasnádi Péter: Fizika. (hely nélkül): Akadémiai Kiadó Zrt. 2011 ISBN 9789630584876  
  • Hraskó Péter: Termodinamika és statisztikus fizika

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]