Boltzmann-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, kémiában, és a fizikában a Boltzmann-eloszlás (Gibbs-eloszlásnak is szokták hívni) [1] egy valószínűség-eloszlás, vagy valószínűség-mérték, mely egy rendszer állapotainak eloszlását jellemzi.

Például a Boltzmann-eloszlás megadja, hogy egy elszigetelt rendszerben milyen valószínűséggel, illetve milyen gyakorisággal fordulhatnak elő egy adott energiával rendelkező molekulák.

Az eloszlást 1901-ben fedezte fel J. W. Gibbs a klasszikus statisztikus mechanika tanulmányozása kapcsán. Ezzel alapozta meg a kanonikus sokaság koncepcióját.

A Boltzmann-eloszlás egy speciális esete a Maxwell–Boltzmann-eloszlás, mely a gázrészecskék sebességét írja le.

Egy még általánosabb beállításban a Boltzmann-eloszlást Gibbs-mértéknek ismerik.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Boltzmann-eloszlás Ni / N részecskére, melyek i állapotban, Ei energiával rendelkeznek:

{N_i \over N} = {g_i e^{-E_i/(k_BT)} \over Z(T)}

ahol k_B a Boltzmann-állandó, T a hőmérséklet, g_i, az Ei energiával rendelkező szintek száma; (néha az általánosabb „állapot”-ot használják a szintek helyett). N a részecskék teljes száma, és Z(T) a partíciófüggvény.

N=\sum_i N_i,
Z(T)=\sum_i g_i e^{-E_i/(k_BT)}.

Más értelmezésben, egy jól definiált hőmérsékleten lévő egyedülálló rendszernél megadja annak a valószínűségét, hogy a rendszer a specifikált állapotban tartózkodik.

A Boltzmann-eloszlás csak azokra a részecskékre érvényes, melyek elég magas hőmérsékletűek és sűrűségük elegendően alacsony ahhoz, hogy a kvantumhatások elhanyagolhatók legyenek, és a részecskék a Maxwell–Boltzmann statisztika szerint viselkednek. (Lásd még a Boltzmann-eloszlás deriválása cikket).[2][3]

A Boltzmann-eloszlást gyakran a β = 1/kT kifejezéssel írják le, ahol a β a termodinamikus béta. Az e^{-\beta E_i} vagy a e^{-E_i/(kT)} kifejezéseket, melyek egy állapot relatív valószínűségét adják meg, Boltzmann-tényezőnek hívják, gyakran előfordulnak fizikai és kémiai tanulmányokban.

Amikor az energia egyszerűen a részecske mozgási energiája:

E_i = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} mv^2,

akkor az eloszlás helyesen adja meg a gázmolekulák sebességének Maxwell–Boltzmann eloszlását, melyet Maxwell már 1859-ben megjósolt. A Boltzmann-eloszlás, azonban, jóval általánosabb. Például megjósolja a részecskesűrűség változásait gravitációs térben, ha E_i = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} mv^2 + mgh. Valójában az eloszlás mindig alkalmazható, amikor a kvantumhatás elhanyagolható.

Néhány esetben, a folytonossági közelítés használható. Ha g(EdE állapotok E től E + dE energiával rendelkeznek, akkor a Boltzmann-eloszlás megjósolja az energia valószínűség-eloszlását:

p(E)\,dE = {g(E) e^{-\beta E} \over \int g(E') e^{-\beta E'}\,dE'}\, dE.

Ekkor g(E) az állapotok sűrűsége, ha az energiaspektrum folytonos. Az ilyen energiaeloszlást mutató klasszikus részecskék a Maxwell–Boltzmann-statisztika szerint viselkednek.

A klasszikus korlátok esetén, például E/(kT) nagy értékeinél, vagy kis állapotsűrűség esetén, amikor a részecskék hullámfüggvényei gyakorlatilag nem fedik át egymást, mind a Bose–Einstein-, mind a Fermi–Dirac-eloszlások Boltzmann-eloszlásokká válnak.

Deriválás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Landau, Lev Davidovich; and Lifshitz, Evgeny Mikhailovich. Statistical Physics, 3, Pergamon Press [1976] (1980). ISBN 0-7506-3372-7  Translated by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. See section 28
  2. Derivation of the Boltzmann distribution (angolul)
  3. Derivation of the Boltzmann Distribution Function PDF (angolul)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Boltzmann distribution című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.
  • Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich: Statistical Physics. 5 (3 ed.). (hely nélkül): Oxford: Pergamon Press. 1980 ISBN 0750633727  
  • Magyarul: L. D. Landau – J. M. Lifsic – L. P. Pitajevszkij: Elméleti fizika V. Statisztikus fizika I. (Tankönyvkiadó, 1981) ISBN 978-963-2791-33-3