Szélsőérték

A matematikában valamely függvény szélsőértékének nevezzük értelmezési tartományának valamely nyílt halmazzal vett metszetére vett leszűkítésének értékkészletének, illetve annak abszolútértékének maximumát és minimumát.

Valós függvény szélsőértéke

Globális szélsőérték

Ha f valósokon értelmezett valósértékű függvény, akkor f globális vagy abszolút szélsőértékeinek nevezzük értelmezési tartományának maximumát illetve minimumát.

Pl.: a $sin\,x$ függvény maximuma az 1, amit az $x=\left(2k+{\frac {1}{2}}\right)\pi \,\,(k\in \mathbb {Z} )$ helyeken vesz fel, és minimuma -1, amit pedig az $x=\left(2k-{\frac {1}{2}}+2k\right)\pi \,\,(k\in \mathbb {Z} )$ helyeken vesz fel.

Weierstrass-tétel

Weierstrass tétele kimondja, hogy minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik mindkét abszolút szélsőértéke.

Lokális szélsőérték

y f függvény lokális vagy helyi szélsőértéke, ha létezik olyan $I$ nyílt halmaz, f-nek amire vett leszűkítésének y abszolút szélsőértéke.

Pl.:$x\cdot \sin \,x$ lokális minimuma 0 a 0 helyen.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges feltétele

Egy Fermat-tól származó tétel kimondja, hogy differenciálható függvény helyi szélsőértékéhez húzott érintő párhuzamos az abszcissza-tengellyel, azaz, ha f teljes értelmezési tartományában differenciálható, akkor lokális szélsőértékeit csak azokon az x helyeken veheti fel, ahol $f'\,(x)=0$.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges és elegendő feltétele

Legyen $f\,n$-edik deriváltja $x\in Dom\,f$ egy $K\,$ környezetében folytonos, és $f'\,(x)=\cdots =f^{(n-1)}(x)=0$, továbbá $f^{(n)}(x)\,\neq 0$. Ekkor $f\,x$ helyen pontosan akkor veszi fel lokális szélsőértékét, ha $n\,$ páros, mégpedig, és ha létezik szélsőérték, abban az esetben, ha $f^{(n)}(x)\,>0$, minimuma van, ellenkező esetben pedig maximuma.

Bizonyítás

A Taylor-formula szerint $K\,$ minden $x+h\,$ pontjához létezik olyan $\Theta \in [0,1]$, hogy

$f(x+h)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {f^{(k)}(x)}{k!}}h^{k}}+{\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}=f(x)+{\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}$, azaz

$f(x+h)-f(x)={\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}$

Legyen $f^{(n)}(x)>0\,$, ekkor $f^{(n)}\,$ folytonossága miatt létezik olyan $\varepsilon >0\,$, hogy minden $\varepsilon >|a|\,$-ra $f^{(n)}(x+a)>0\,$. Tegyük fel, hogy $n\,$ páros, $|h|<\varepsilon$, és $\Theta h=a\,$, ekkor

$0<{\frac {f^{(n)}(x+a)}{n!}}h^{n}={\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}=f(x+h)-f(x)$, azaz $f(x)<f(x+h)\,$, következésképp $f\,$-nek $x\,$ helyen lokális minimuma van. Ha $n\,$ páratlan, akkor, ha $0<h<\varepsilon \,$, akkor $f(x)<f(x+h)\,$, ha viszont $-\varepsilon <h<0\,$, akkor $f(x)>f(x+h)\,$ így $x$ helyen a függvénynek nincs szélsőértéke. $f^{(n)}(x)<0\,$ esetben a maximum létezése, ill. nem létezése nagyon hasonlóan látható be.