Weierstrass-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Weierstrass-tétel a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben Rn-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.[1]

A tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

Tehát, ha [a,b] korlátos és zárt és f : [a,b] \rightarrowR folytonos függvény, akkor létezik olyan p, q[a,b], hogy minden x[a,b]-re f (p)f (x)f (q).

Bizonyítás sorozatkompaktsággal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bolzano–Weierstrass-tétellel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Belátjuk, hogy f ( [a,b] ) sorozatkompakt, amiből a Bolzano–Weierstrass-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy f ( [a,b] ) korlátos és zárt.

Legyen (y_n) egy f ( [a,b] )-ben haladó sorozat. Belátjuk, hogy van olyan konvergens részsorozata, melynek határértéke szintén f ( [a,b] ) beli. Minden n természetes számra

H_n:=\{x\in [a,b]\mid y_n=f(x))\}\ne\emptyset

így a kiválasztási axióma miatt létezik olyan (x_n) sorozat, mely [a,b]-ben halad és minden n természetes számra y_n = f (x_n). A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor (x_n)-nek létezik konvergens (z_k) részsorozata, melynek határértéke az [a,b]-beli u szám. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján ekkor az ( f (z_k) ) sorozat, mely az (y_n) részsorozata, konvergens és határértéke az f ( [a,b] )-beli f (u) szám.

A Bolzano–Darboux-tételből tudjuk, hogy f értékkészlete intervallum. Az előbb beláttuk, hogy ez korlátos és zárt. Mivel így min f ( [a,b] ) ∈ f ( [a,b] ) és max f ( [a,b] ) ∈ f ( [a,b] ), azaz a függvény felveszi értékkészletének végpontjait, ezért léteznek olyan p és q [a,b]-beli számok, hogy

f(p)=\min \,f([a,b]) és
f(q)=\max \,f([a,b])

Így az állítást beláttuk.

További bizonyítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel efféle bizonyítása két lépésben zajlik. Belátjuk, hogy a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény

  1. korlátos – ez a korlátosság tétele
  2. felveszi minimumát és maximumát – ez a szélsőérték tétele vagy a szűkebb értelemben vett Weierstrass-tétel.

Mindkét lemmát többféleképpen is igazolhatjuk.

1. A korlátosság igazolása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Heine–Borel-tétellel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Belátjuk, hogy f korlátos. A folytonosság definíciója miatt minden ε-hoz, például :ε=1-hez és minden x[a,b]-hez létezik olyan δx pozitív szám, hogy minden x'[a,b]-re, amennyiben |x-x'| < δx, akkor |f(x)-f(x')| < ε.

Vegyük minden [a,b]-beli pontnak a δx sugarú nyílt környezetét. Ez a nyílt halmaz rendszer lefedi [a,b]-t így a Borel–Lebesgue-tétel miatt ezek közül már véges sok is lefedi [a,b]-t. Legyen ez az

I_i=(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i}),\quad\quad i = 1...n

véges intervallumrendszer. Az f(x_i) számok között van legkisebb és legnagyobb, legyen ez rendre f(u) és f(v). Minden x[a,b]-re létezik i, hogy xIi, így

f(u)-\varepsilon\leq f(x_i)-\varepsilon < f(x)<f(x_i)+\varepsilon\leq f(v)+\varepsilon

tehát f korlátos.

A felsőhatár axiómával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen H a következő halmaz:

H:=\{x\in [a,b]\mid f\mbox{ az }[a,x]\mbox{-en korl}\mathrm{\acute{a}}\mbox{tos}\}

H nem üres, mert aH, és felülről korlátos, mert [a,b] lefedi, így a felsőhatár axióma és [a,b] zártsága miatt létezik sup H ∈ [a,b]. Legyen az a h szám. Állítjuk, hogy h = b. Ha ugyanis h < b állna, akkor minden ξ ∈ [a,b]-re, melyre h < ξ teljesül [a,ξ]-ben f már nem lenne korlátos. Azonban f a h-ban is folytonos, így a h egy alkalmas δ sugarú környezetében korlátos, így [a , h - δ]-ban és [h - δ , h + δ]-ban is, amiből következik, hogy az unióban, [a , h + δ]-ban is, ami ellentmond annak, hogy h a H szuprémuma, hiszen a nála nagyobb h + δ is elem H-nak.

2. A szélsőértéktétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az értékkészlet szuprémumtulajdonságával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát és infimumát. Nemüres, korlátos valós részhalmaznak van alsó és felső határa. Legyen f értékkészletének felső határa S. Ekkor minden x[a,b]-re

f(x)\leq S

Ha nem lenne x_S[a,b], hogy f(x_S) = S, akkor a

g(x)=\frac{1}{S-f(x)}\quad\quad x\in [a,b]

függvény értelmezve lenne a teljes [a,b]-n. g folytonos, mert a folytonosságot megőrző függvényműveletekkel lett f-ből elkészítve, de nem korlátos, ami az előző szakasz miatt ellentmondást ad. Minthogy ugyanis S a szuprémum, minden ε pozitív számra létezik x[a,b], hogy S - ε < f(x), de ekkor g(x) > 1/ε, azaz g minden határon túl nő.

Következmény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bolzano–Darboux-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel felhasználásával tehát a Weierstrass-tételt a következő formában is kimondhatjuk:

Tétel – Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény képe kompakt.

Ezt néha Weierstrass második tételének is nevezik és ez esetben az előző állítás az első számú.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 88-89.old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]