Szerkesztő:Whoami/Hilbert-tér

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, mely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.

Bevezetés

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. ??Ezt a munkát Hilbert és Lothar (Wolfgang) Nordheim kezdte és Wigner Jenő folytatta.?? A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A gyakorlatban gyakran komplex számokból vagy függvényekből álló sorozatok. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

A Hilbert-tér fogalma

Definíció. A komplex számok $\mathbb {C}$ teste felett értelmezett ${\mathcal {V}}$ vektortér euklideszi, ha ártelmezve van rajta $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathcal {V}}\times {\mathcal {V}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ leképezés mely rendelkezik a hermitikus skalárszorzat tulajdonságaival.
Definíció. A komplex számok $\mathbb {C}$ teste felett értelmezett ${\mathcal {V}}$ vektortér normált, ha ártelmezve van rajta $||\cdot ||:{\mathcal {V}}\rightarrow {\mathcal {R}}$ leképezés, mely rendelkezik egy norma tulajdonságaival.

Definíció. A komplex számok $\mathbb {C}$ teste felett értelmezett ${\mathcal {V}}$ vektortér normált, ha ártelmezve van rajta $||\cdot ||:{\mathcal {V}}\rightarrow {\mathcal {R}}$ leképezés, mely rendelkezik egy norma tulajdonságaival.

Minden $\left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle$ skalárszorzattal rendelkező valós vagy komplex H vektortérben értelmezhető egy ||.|| norma a következőképp:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$,

ebből pedig származtatható egy metrika:

$d(x,y)=\|x-y\|$

A H teret Hilbert-térnek nevezzük, ha teljes erre a metrikára nézve, azaz minden Cauchy-sorozat konvergens.

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).

Minden véges dimenziós belsőszorzattal rendelkező tér (mint az Euklideszi-tér a szokásos skalár szorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

• Az unitér csoportreprezentációk elmélete
• A négyzetesen integrálható sztochasztikus folyamatok
• A parciális differenciálegyenletek Hilbert-tér elmélete, különösen a Dirichlet-probléma megfoglamazásai
• A függvények spektrális analízise, beleértve a waveleteket
• A kvantummechanika matematikai megfogalmazásai

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.