Prímteszt

Prímteszten a matematikában vagy informatikában olyan (determinisztikus) algoritmust vagy indeterminisztikus (például valószínűség-elméleti) módszereket is megengedő eljárást értünk, melynek ismeretében bármely adott egész számról, vagy csak bizonyos típusú számokról (véges sok lépésben) el tudjuk dönteni, hogy prímszám-e, vagy pedig összetett. Ettől lényegesen különböző és sokkal nehezebb feladat egy adott szám prímtényezőinek a megtalálása (prímfelbontás).

A következőkben csak a pozitív számok prímteszteléséről fogunk szólni, hisz egy negatív szám akkor és csak akkor prím, ha ellentettje, mint egész szám, szintén prím.

Tetszőleges számok tesztelése

Naiv módszer

A legegyszerűbb módszer a következő: az adott egész számot sorra elosztjuk a nála határozottan kisebb pozitív egész számokkal. Ha van ezek között olyan, 1-től különböző szám, ami az adott egész számnak osztója, akkor a szám nem prím; ellenben viszont, ha nincs, akkor ez a szám egy prímszám.

Egy nagyon primitív pszeudokód formájában a következőképp „algoritmizálhatjuk” ezt:

• 1). legyen s=2; és olvassuk be a tesztelendő n egész számot,
• 2). ha n=0 vagy n=1, akkor sem nem prím, sem nem összetett; STOP; ha n>2, menjünk 3).-ra
• 3). Képezzük az m=<n mod s> maradékot; ha ez 0 és m<n, akkor n nem prím, STOP; ha m=n, akkor n prím, STOP; ha pedig az előző esetek egyike sem teljesül, ekkor tehát m<n és m nem nulla, legyen s=s+1, és menjünk 3).-ra.

Az eljárás elég lassú, de a tárhely növelésével gyorsítható. Ez azon alapul, hogy nem kell a számnál kisebb összes természetes egésszel osztunk, hanem nyilván elegendő ezt csak a nála kisebb prímekkel megtenni. Ehhez készíteni kell egy prímszámtáblázatot, ami például az eratoszthenészi szita módszerén vagy más szitálási eljárásokon alapulhat. A számokat elég a négyzetgyökükig vizsgálni, hiszen a szorzás kommutatív művelet.

Wilson-prímteszt

Ennek a prímtesztnek, legalábbis ma, csak elméleti jelentősége van (tehát gyakorlatilag semmi); a Wilson-tételen alapul:

Az n>1 szám csak akkor prím, ha n|(n-1)!+1.

Azonban ennek használatához az n! faktoriális függvényt kellene számolni, erre viszont jelenleg nincs hatékony eljárás.

Fermat-prímteszt

Ha p prím akkor $a^p-a$ osztható p-vel, ahol p nem osztója a-nak.

A Solovay-Strassen teszt

Egy adott páratlan n számról a következőképpen döntjük el, hogy prím-e: választunk véletlenszerűen egy 0<b<n egész számot. Ezután kiszámítjuk az euklideszi algoritmus segítségével a (b, n) legnagyobb közös osztót. Ha ez egynél nagyobb, akkor készen vagyunk: n összetett szám. Ha nem, akkor kiszámítjuk egyrészt $b^{\frac{n-1}{2}}$ n-nel vett legkisebb abszolút értékű maradékát, másrészt a :$\left(\frac{b}{n}\right)$ Jacobi-szimbólum értékét. Ha n prím, akkor a két értéknek, az Euler-kritérium értelmében, meg kell egyezni. Fontos megjegyezni, hogy noha a Jacobi-szimbólum n prímfelbontása segítségével van definiálva, értéke anélkül is gyorsan kiszámítható. Ha n összetett, akkor legfeljebb 1/2 annak a valószínűsége, hogy véletlen b-re ez a két érték megegyezik. Ezért sokszor ismételjük a fenti próbát véletlenszerűen választott b értékekkel. Ha a két szám akár csak egyszer is eltér, akkor biztosak lehetünk benne, hogy n összetett. Ha viszont mindig megegyeznek, akkor igen nagy valószínűséggel prím.

A Miller–Rabin-teszt

Legyen n a tesztelendő páratlan szám, $n-1=2^s t$, t páratlan. Legyen 0<b<n.

$b^t\equiv 1 \pmod{n}$ vagy van olyan $0\leq r<s$, hogy $b^{2^r t}\equiv -1 \pmod{n}$.

Ha n prímszám, akkor a fenti állítás minden b-re teljesül; ha n összetett, akkor ez legfeljebb a b-k egynegyedére igaz. Ezért véletlenszerűen választunk b értékeket, és ha mondjuk 100 egymásutáni választásra igaz a fenti állítás, akkor n nagy valószínűséggel prím.

(Sokan félreértelmezik a fentieket, és úgy gondolják, hogy sok teszt szükséges. Nem veszik figyelembe, hogy ha n összetett, ami nagyon ritkán fordul elő egy nagyobb, véletlenszerűen választott páratlan számnál - ha az átmegy a teszten. Pl. 2^64-ig 31894014 db (b=2) álprím és 4,25656*10^17 prímszám van, tehát kevesebb, mint 2^(-32) valószínűséggel összetett - pedig csak egy teszt.)

Az AKS-algoritmus

2002 augusztusában három indiai matematikus – Manindra Agrawal, Neeraj Kayal és Nitin Saxena – polinomiális prímtesztet talált ki. Ez a prímek következő karakterizációján alapul: Legyen $n \geq 2$ természetes szám, r olyan n-nél kisebb természetes szám, hogy n rendje r-rel osztva nagyobb, mint ($log_{10}$ n)². n pontosan akkor prím, ha:

1. n nem teljes hatvány,

2. n-nek nincs prímtényezője, ami $\leq r$,

3. $(x+a)^n\equiv x^n+a\pmod{(n,x^r-1)}$teljesül minden $1\leq a \leq \sqrt{r}\log n$egész számra.

Speciális alakú számok tesztelése (Pepin-teszt)

Speciális alakú számokra vannak speciális prímtesztek. Például, ha $N=2^{2^n}+1$ alakú Fermat-szám (n≥ 1), úgy N prím pontosan akkor, ha

$3^{\frac{N-1}{2}}\equiv -1 \pmod{N}.$

Források

• N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography
• Szobol: IMC módszer
• Donald Knuth: A számítógépprogramozás művészete