Jacobi-szimbólum

A számelméletben a Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása.

Definíciója

ha P>2 páratlan szám, a hozzá relatív prím egész, akkor

$\left(\frac{a}{P}\right) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}$

ahol $P=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ a prímhatványfelbontás. Ha a-nak és P-nek van közös osztója, akkor $\left(\frac{a}{P}\right)=0$.

Tulajdonságai

1. Ha a ≡ b (mod P), akkor $\bigg(\frac{a}{P}\bigg) = \bigg(\frac{b}{P}\bigg)$
2. $\left(\frac{1}{P}\right) = 1$
3. $\bigg(\frac{ab}{P}\bigg) = \bigg(\frac{a}{P}\bigg)\bigg(\frac{b}{P}\bigg)$
4. $\bigg(\frac{-1}{P}\bigg) = (-1)^{\frac{P-1}{2}}$
5. $\left(\frac{2}{P}\right) = (-1)^{\frac{P^2-1}{8}}$
6. Ha P,Q relatív prím páratlan számok, akkor $\bigg(\frac{P}{Q}\bigg) = \bigg(\frac{Q}{P}\bigg)(-1)^{\frac{(P-1)(Q-1)}{4}}$