Mértékszabadság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mértékszabadság az elektrodinamikai potenciálokra jellemző sajátos többértelműség: meghatározott transzformációval egymásba vihető végtelen sok, egymástól különböző potenciálhoz ugyanazok az erőterek és egyéb fizikai mennyiségek tartoznak. Ennek a redundanciának az értelmét a klasszikus fizika nem tudja megmagyarázni, a kvantumtérelmélet világít rá a jelenségre. Így a mértékszabadság klasszikus alakja mintegy előrejelzi, hogy a klasszikus fizika nem a végső fizikai elmélet, létezik azon túl valami más, ami világunk pontosabb leírását adja.

A klasszikus elektrodinamikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Régóta tudjuk, hogy az elektrosztatikában szereplő elektrosztatikus potenciál csak egy additív konstans erejéig határozható meg egyértelműen. Ennél azonban több is kijelenthető és nem csak sztatikus esetre. Az E elektromos térerősséget és a B mágneses indukciót definiálhatjuk a Φ skalárpotenciál és az A vektorpotenciál segítségével a következő módon:

{\mathbf E} = -\nabla\phi - \frac{\partial{\mathbf A}}{c\partial t}  és  {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.

E és B azonban változatlan marad, ha tetszőleges \Lambda(\mathbf{x},t) függvény segítségével végrehajtjuk a következő transzformációt A-n és Φ-n:

\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} - \nabla \Lambda
\phi \rightarrow \phi + \frac{\partial\Lambda}{c\partial t}

A és Φ egy konkrét megválasztását egy mértéknek, \Lambda(\mathbf{x},t)-t egy mértékfüggvénynek nevezzük. Az itt bemutatott mértékszabadság egy U(1) lokális mértékinvarianciának felel meg, ami a kvantumelektrodinamika formalizmusában látszik jobban. A mértéket rögzíteni lehet sokféle módon, egy-egy speciális feltétel kirovásával (ld. alább).

Előlegezzük meg egy pillanatra a Minkowski-térnél látott kovariáns jelöléseket: Aμ=(Φ,A), Aμ=(Φ,-A). Ezekkel a jelölésekkel a fenti mértéktranszformáció az

A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu\Lambda(x), ahol x=({\mathbf x},t)

alakban írható, ami mutatja azt –ami korrekt módon is bebizonyítható–, hogy Aμ és Aμ egy négyesvektor, a négyespotenciál kontravariáns és kovariáns komponensei.

A kvantumelektrodinamikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyszerűség kedvéért térjünk át a részecskefizikában széles körben használt \hbar=c=1 egységrendszerre. A kvantumelektrodinamikában nemcsak az elektromágneses teret, hanem az anyagi részecskéket is terek írják le a kvantummechanikai hullám-részecske kettősséggel összhangban. A mértékszabadságot ezekre a terekre is ki kell terjeszteni, különben nem juthatunk általános érvényű fizikai következtetésekre.

A sugárzási térre – aminek négyespotenciálját mértékmezőnek hívjuk – továbbra is igaz, hogy a mértéktranszformáció:

A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu\Lambda(x) = e^{i\Lambda(x)}A_\mu e^{-i\Lambda(x)}+ie^{i\Lambda(x)}\partial_\mu e^{-i\Lambda(x)}

kovariánsan változtatja a mozgásegyenleteket, az anyagi terekre viszont változtatás nélkül csak egy globális fázistranszformáció megengedett:

\Phi \rightarrow \Phi e^{i\alpha}

Az anyagi terek esetén a deriváltat a

 D_\mu := \partial_\mu - i A_\mu

kovariáns deriválttal helyettesítve – ami magában foglalja az anyagi és sugárzási terek kölcsönhatását is – és egy kis kézenfekvő, heurisztikus kiegészítéssel kovariáns egyenletekhez jutunk, ahol a mértéktranszformáció hatása az anyagi terekre:

\Phi \rightarrow \Phi e^{i\Lambda(x)}
D_\mu\Phi \rightarrow D_\mu\Phi \cdot e^{i\Lambda(x)}

Az anyagi terek esetén egy lokális (helyfüggő) fázistranszformációt látunk, ami a tér (a hullámfüggvény) abszolutértéknégyzetét nem változtatja meg. Az ilyen transzformációt unitér transzformációnak nevezzük. \Lambda(x) egy "egydimenziós" szám és nem egy – például többdimenziós mátrixszal reprezentálható – operátor, ezért ezt a mértéktranszformációt U(1)-transzformációnak (U, mint unitér) hívjuk. Ezek mértékcsoportja az U(1)-csoport, ami az elektromágneses kölcsönhatás belső szimmetriacsoportja (belső, azaz nem téridő).

A kvantumtérelméletben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantumtérelméletben kiterjesztjük a megengedett mértékcsoportok körét a Lie-csoportokra. Ezek közül valódi fizikai jelentéssel, természetesen csak néhány bír, a kutatások tárgya, hogy melyek ezek. Az abeli, azaz kommutatív U(1) csoporttal szemben a Lie-csoportok többsége nem kommutatív. Az anyagi mezők – megfelelően definiált – kovariáns deriváltja ugyanúgy transzformálódik, mint az anyagi mezők maguk:

\Phi \rightarrow G(x)\Phi
D_\mu\Phi \rightarrow G(x)D_\mu\Phi

ahol például unitér mértékcsoport esetén:

G(x)=e^{\Lambda^a(x)T^a}

ahol a Ta mennyiségek a csoport antihermitikus generátorai. A kovariáns derivált pedig:

D_\mu = \partial_\mu + A_\mu = \partial_\mu + A_\mu^aT^a

azaz annyi mértékmezőt (sugárzási mezőt, közvetítő részecskét) kell bevezetni, ahány dimenziós a csoport. SU(2) esetén hármat, SU(3) esetén nyolcat, általában SU(n) esetén n²-1-et. A mértékmezők transzformációja az elektrodinamikával analóg:

A_\mu \rightarrow G(x)A_\mu G^{-1}(x) + G(x)\partial_\mu G^{-1}(x)

Mértékrögzítések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Konkrét számolások esetén nagyon kényelmes sokszor bevezetni egy olyan feltételt, ami a mértékszabadságot korlátozza, a mértéket rögzíti. Ez a fizikai végeredményt nem befolyásolja, de leegyszerűsíti a számolást, mert bizonyos változókra könnyebben megoldhatóvá teszi például az egyenleteket és így a maradék probléma is leegyszerűsödik.

Coulomb-mérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Coulomb-mérték (sugárzási vagy tranzverzális mértékként is ismert) a mértékfüggvény olyan megválasztását jelenti, hogy:

\nabla\cdot{\mathbf A}=0.

Hátránya, hogy ebben a mértékben A és Φ néha a fénynél gyorsabban is terjedhet. Ennek mindenesetre nincs jelentősége, mert A és Φ önmagukban megfigyelhetetlen mennyiségek, a megfigyelhető mezők pedig helyesen viselkednek.

A Coulomb-mértékben, ahogy az a Gauss-törvényből látszik, a skalárpotenciált egyszerűen egy Poisson-egyenlet határozza meg a teljes töltéssűrűségből (beleértve a kötött töltéseket is) kiindulva.

-\nabla^2 \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Lorenz-mérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Lorenz-mérték a mértékfüggvény olyan megválasztását jelenti, hogy:

\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0.

Könnyen megmutatható, hogy ebben az esetben a mérték még mindig megváltoztatható, ha a mértékfüggvény kielégíti a hullámegyenletet:

{ \partial^2 \Lambda \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2\Lambda .

Azaz a Lorenz-mérték nem teljes olyan értelemben, hogy van benne maradék mértékszabadság. Mindenesetre a mértékfüggvény fénysebességgel terjed. A speciális relativitáselméletben ez egy kovariáns mérték

Fontos megjegyezni, hogy a mértéket Ludwig Lorenz dán fizikus publikálta és nem Hendrik Antoon Lorentz holland fizikus, ahogy azt gyakran gondolják. Lorenz eredeti publikációját Maxwell nem fogadta jól (elsősorban a saját elektromágneses munkássága miatt). Lorenz munkája volt az első Maxwell 1865-ös publikációja után, ami azt szimmetrizálta és lerövidítette.

Weyl-mérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Weyl mérték – ami Hermann Weylről kapta a nevét – egy nem teljes mérték, ami a következő választást jelenti:

\phi=0 \,

Maximum abeli mérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy nemabeli mértékelméletben egy maximum abeli mérték egy olyan nem teljes mérték, ami a mértékszabadságot a maximum abeli alcsoporton kívül rögzíti. Példák:

  • SU(2) mértékelmélet D dimenzióban: a maximum abeli alcsoport egy U(1) csoport. Ha ezt úgy választjuk meg, hogy legyen az, amit a σ3 Pauli-mátrix generál, akkor ez a mérték az, ami a következő függvényt maximalizálja:
\int d^Dx \left[(A_\mu^1)^2+(A_\mu^2)^2\right].  ahol  {\mathbf A}_\mu = A_\mu^a \sigma_a
  • SU(3) mértékelmélet D dimenzióban: a maximum abeli alcsoport egy U(1)×U(1) alcsoport. Ha ezt úgy választjuk meg, hogy a λ3 és λ8 Gell-Mann-mátrixok generálják, akkor ez a mérték a következő függvény maximalizálását jelenti:
\int d^Dx \left[(A_\mu^1)^2+(A_\mu^2)^2+(A_\mu^4)^2+(A_\mu^5)^2+(A_\mu^6)^2+(A_\mu^7)^2\right].   ahol   {\mathbf A}_\mu = A_\mu^a \lambda_a

Landau-mérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Landau-mérték a kvantumelektrodinamikában a fotonpropagátorra kirótt következő feltételt jelenti:

D_{\mu\nu}k^{\nu} = 0 \,

A Landau-mérték analóg a potenciálokra kirótt Lorenz-mértékkel.

Feynman-mérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

't Hooft-mértékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mértékszabadság kezelésére rejtett szimmetriák esetére 't Hooft 1971-ben állította fel a saját mértékeit a Higgs-mező vákuumértéke körüli sorfejtéséből kiindulva:

\Phi(x)={1 \over \sqrt{2}}[f + \chi_1(x) +i\chi_2(x)]

ahol a χ függvények vákuumértéke nulla. A mértékfeltétel pedig a következő:

 \partial_\mu A^\mu = M \xi\chi_2

ahol M a Higgs-bozon tömege. ξ speciális megválasztásai korábbi mértékválasztásokkal ekvivalensek:

  • ξ=0 a Landau-mérték
  • ξ=1 a Feynman-mérték

Szimmetrikus mérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]