Propagátor

A kvantummechanikában és a kvantumtérelméletben a propagátor a hullámfüggvény időfejlődéséhez kapcsolódik. A propagátor egy részecskének egyik helyről a másikra való – adott idő alatti – mozgásának, vagy bizonyos energiával és impulzussal való mozgásnak az amplitúdóját adja meg. Fogalma szorosan kapcsolódik az időfejlesztő operátorához és a Green-függvényhez.

A propagátorok matematikája

Tekintsünk egy tetszőleges $|\psi\rangle$ állapotot a t időpontban. Ekkor t'-beli állapotot a $U(t, t')|\psi\rangle$ vektor fogja leírni, ahol a $U(t, t')$ a t-ből t'-be való időfejlődés unitér operátora. Amennyiben a rendszer invariáns az időeltolásra (azaz az energiája megmarad), akkor $U(t, t')=U(|t'-t|)$.

A propagátor és az időfejlesztő-operátor kapcsolata következő:

Tekintsük a következő nemrelativisztikus disztribúció-értelemben vett egyenletet:

$\left( H_x - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x't') = -i\hbar \delta(x-x')\delta(t,t')$

ahol $H_x$ a rendszer Hamilton-operátora koordinátareperezentációban, $\delta$ pedig Dirac-delta. Ekkor $K(x,t;x't')$ egyrészt a differenciálegyenlet Green-függvénye, másrészt a rendszer propagátora, mert $K(x,t;x't')$ pontosan a részecske (x,t)→(x',t') mozgásának amplitúdóját írja le. Az egyenletből látszik, hogy amennyiben a rendszer állapota t-ben nem teljesen az x-be koncentrált, hanem tetszőleges $|\psi\rangle$ hullámfüggvény, akkor a rendszer állapotát t'-ben a következő egyenlet definiálja:

$\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'$

ami a fentebb már említett időeltolás-invariáns esetben egy konvolúcióvá egyszerűsödik, azaz az $U$ időfejlesztő operátor a $K$-val vett konvolúció operátorává válik.

Forrás

• angol szócikk
• Feynman and Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals