Propagátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kvantummechanikában és a kvantumtérelméletben a propagátor a hullámfüggvény időfejlődéséhez kapcsolódik. A propagátor egy részecskének egyik helyről a másikra való – adott idő alatti – mozgásának, vagy bizonyos energiával és impulzussal való mozgásnak az amplitúdóját adja meg. Fogalma szorosan kapcsolódik az időfejlesztő operátorához és a Green-függvényhez.

A propagátorok matematikája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsünk egy tetszőleges |\psi\rangle állapotot a t időpontban. Ekkor t'-beli állapotot a U(t, t')|\psi\rangle vektor fogja leírni, ahol a U(t, t') a t-ből t'-be való időfejlődés unitér operátora. Amennyiben a rendszer invariáns az időeltolásra (azaz az energiája megmarad), akkor U(t, t')=U(|t'-t|).

A propagátor és az időfejlesztő-operátor kapcsolata következő:

Tekintsük a következő nemrelativisztikus disztribúció-értelemben vett egyenletet:

\left( H_x - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x't') = -i\hbar \delta(x-x')\delta(t,t')

ahol H_x a rendszer Hamilton-operátora koordinátareperezentációban, \delta pedig Dirac-delta. Ekkor K(x,t;x't') egyrészt a differenciálegyenlet Green-függvénye, másrészt a rendszer propagátora, mert K(x,t;x't') pontosan a részecske (x,t)→(x',t') mozgásának amplitúdóját írja le. Az egyenletből látszik, hogy amennyiben a rendszer állapota t-ben nem teljesen az x-be koncentrált, hanem tetszőleges |\psi\rangle hullámfüggvény, akkor a rendszer állapotát t'-ben a következő egyenlet definiálja:

\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'

ami a fentebb már említett időeltolás-invariáns esetben egy konvolúcióvá egyszerűsödik, azaz az U időfejlesztő operátor a K-val vett konvolúció operátorává válik.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • angol szócikk
  • Feynman and Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals