Gell-Mann-mátrixok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Murray Gell-Mannról elnevezett Gell-Mann-mátrixok az SU(3) csoport generátorai 3\times 3-as mátrixok között. A nyolc mátrix a következőképp van definiálva:[1]

\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

A Gell-Mann-mátrixok nyoma nulla, hermitikusak és páronként ortogonálisak:

 \mathrm{Tr}(\lambda_k \lambda_l) = 2 \delta_{kl}.

A Gell-Mann-mátrixok felfoghatók a Pauli-mátrixok általánosításaként. Érdemes észrevenni, hogy \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_7 valójában 2\times 2-es Pauli-mátrixok plusz egy nullákból álló sor és oszlop. Így ezeknek a mátrixoknak a sajátértekei a -1, a 0 és az 1. \lambda_8 sajátértékei ezzel szemben az \frac{1}{\sqrt{3}} és a \frac{-2}{\sqrt{3}}. Továbbá, \lambda_3 and \lambda_8 mindketten diagonálisak, és

\lambda_3^2+\lambda_8^2=\frac{4}{3}I_3

ahol I_3 a 3\times 3-as egységmátrix. Érdekes még, hogy

\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+\lambda_4^2+\lambda_5^2+\lambda_6^2+\lambda_7^2+\lambda_8^2=\frac{16}{3}I_3.

A Gell-Mann-mátrixokat a kvarkok leírásánál és a kvantum-színdinamikában használják.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Murray Gell-Mann, "Symmetries of Baryons and Mesons", Phys. Rev. 125, 1067 - 1084 (1962).