Gell-Mann-mátrixok

A Murray Gell-Mannról elnevezett Gell-Mann-mátrixok az SU(3) csoport generátorai $3\times 3$-as mátrixok között. A nyolc mátrix a következőképp van definiálva:

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

A Gell-Mann-mátrixok nyoma nulla, hermitikusak és páronként ortogonálisak:

$\mathrm{Tr}(\lambda_k \lambda_l) = 2 \delta_{kl}.$

A Gell-Mann-mátrixok felfoghatók a Pauli-mátrixok általánosításaként. Érdemes észrevenni, hogy $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_7$ valójában $2\times 2$-es Pauli-mátrixok plusz egy nullákból álló sor és oszlop. Így ezeknek a mátrixoknak a sajátértekei a -1, a 0 és az 1. $\lambda_8$ sajátértékei ezzel szemben az $\frac{1}{\sqrt{3}}$ és a $\frac{-2}{\sqrt{3}}$. Továbbá, $\lambda_3$ and $\lambda_8$ mindketten diagonálsiak, és

$\lambda_3^2+\lambda_8^2=\frac{4}{3}I_3$

ahol $I_3$ a $3\times 3$-as egységmátrix. Érdekes még, hogy

$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+\lambda_4^2+\lambda_5^2+\lambda_6^2+\lambda_7^2+\lambda_8^2=\frac{16}{3}I_3.$

A Gell-Mann-mátrixokat a kvarkok leírásánál és a kvantum-színdinamikában használják.