Landau-eloszlás

A Landau-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás, melyet Lev Davidovics Landau (1908–1968), szovjet fizikusról neveztek el. Az eloszlásra jellemző, hogy hosszú elnyúlt résszel (farok) rendelkezik, ezért egyes momentumai nem definiáltak, mint például a középérték és a szórásnégyzet. A Landau-eloszlás a stabil eloszlások egy speciális esete.

Meghatározás

A Landau-eloszlás standard változatának a sűrűségfüggvénye egy komplex integrállal fejezhető ki:

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,$

ahol c egy pozitív valós szám, és a log az e alapú logaritmust (természetes logaritmus) jelenti. Az eredmény nem változik c változásával. Számítási célból a következő ekvivalens formula használatos:

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

Az összes Landau-féle eloszlást megkaphatjuk a normális eloszlás kiterjesztésével a hely-skála típusú eloszlásokkal. A Landau-eloszlás a stabil eloszlás speciális esete, α=1, és β=1 paraméterekkel. A karakterisztikus függvény:

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|(1+{\tfrac {2i}{\pi }}\log(|t|){\Big ]}.$

ahol μ and c valós számok, melyek a Landau-eloszlást μ-vel eltolják, és c-vel skálázzák.

Alkalmazás

Részecskefizikában az energiaveszteség spektruma jól jellemezhető az aszimmetrikus Landau-eloszlással.

Irodalom

• Solt György: Valószínűségszámítás. (hely nélkül): Műszaki könyvkiadó. 2006.  
• Ketskeméty László: Valószínűségszámítás tömören. (hely nélkül): Aula Kiadó. 2009. ISBN 9789639698215  

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Szórásnégyzet
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika

Források

• Landau-eloszlás ábrák
• A Landau-eloszlás a Wolfram Mathematica-n