Diagonális mátrix

Diagonális mátrix vagy diagonálmátrix olyan $A=(a_{ij})$ négyzetes mátrix, melynek minden főátlón kívüli eleme nulla:

$\ a_{ij}=0$ minden $i\neq j$-re. Másképp fogalmazva: a diagonális mátrixok olyan speciális háromszögmátrixok, amelyek egyszerre alsó és felső háromszögmátrixok.

A diagonális mátrixot szokás így is jelölni:

$\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$, ahol $a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}$ a főátló elemei.

Érdemes megemlíteni, hogy a diagonális mátrix főátlóbeli elemei szintén lehetnek zérók (akár mindegyik: a nullmátrix is diagonális mátrix).

Példa: A

${\begin{bmatrix}-3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} (-3,1,0,4)$

mátrix diagonális.

További diagonális mátrixok: az egységmátrix, valamint az egyelemű mátrix (tehát a skalár).

Műveletek

• Két diagonális mátrix összege és szorzata is diagonális mátrix:

$\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+\mathrm {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=\mathrm {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})$

$\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\cdot \mathrm {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=\mathrm {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\ldots ,a_{n}b_{n})$

• Diagonális mátrix pozitív egész kitevős hatványa is diagonális:

$\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})^{N}=\mathrm {diag} (a_{1}^{N},a_{2}^{N},\ldots ,a_{n}^{N})$

• A $\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ diagonális mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha összes főátlóbeli $a_{i}$ eleme nullától különböző, ekkor:

$\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})^{-1}=\mathrm {diag} (a_{1}^{-1},a_{2}^{-1},\ldots ,a_{n}^{-1})$

• Az $A=\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ diagonális mátrix determinánsa főátló elemeinek szorzatával egyenlő:

$\det A=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}$.

Források

• Diagonálmátrix Angolul a PlanetMath-on