„Üres halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Definíció: korábbi jelölések Címke: HTML-sortörés |
|||
| 4. sor: | 4. sor: | ||
== Definíció == |
== Definíció == |
||
Azt a [[halmaz]]t, amelynek egyetlen eleme sincsen, '''üres halmaznak''' nevezzük. Jelölése <math>\emptyset</math> ([[André Weil]] vezette be<ref>Deiser, S. 31.</ref>) vagy <math>\{\}\,</math> (az előbbi a nulla elemszámra utal, az utóbbi pedig arra, hogy nincsen eleme). Az iskolai matematikatanításban inkább az utóbbit használják, hogy elkerüljék a félreértést: az üres halmaz nem semmi, hanem elem nélküli halmaz. |
Azt a [[halmaz]]t, amelynek egyetlen eleme sincsen, '''üres halmaznak''' nevezzük. Jelölése <math>\emptyset</math> ([[André Weil]] vezette be<ref>Deiser, S. 31.</ref>) vagy <math>\{\}\,</math> (az előbbi a nulla elemszámra utal, az utóbbi pedig arra, hogy nincsen eleme). Az iskolai matematikatanításban inkább az utóbbit használják, hogy elkerüljék a félreértést: az üres halmaz nem semmi, hanem elem nélküli halmaz. Korábban használt jelölések: <math>\Lambda</math> és <math>\mathit{\Phi}</math><ref>{{cite book |
||
|author=[[Willard van Orman Quine]] |
|||
|title=Set Theory And Its Logic |
|||
|publisher=Belknap Press of Harvard University Press |
|||
|Ort=Cambridge, USA |
|||
|year=1963 <!-- 1st Edition --> |
|||
|ISBN=0-674-80207-1 <!-- ISBN-13=978-0674802070 --> |
|||
|language=en |
|||
|pages=359 (HC)/ 380 (PB)}} – Hier: Seite 19.<br /> |
|||
{{cite book |
|||
|author=[[Willard van Orman Quine]] |
|||
|title=Mengenlehre und ihre Logik |
|||
|in=Logik und Grundlagen der Mathematik (deutsche Übersetzung) |
|||
|BandReihe=10 |
|||
|publisher=Vieweg+Teubner Verlag <!-- Ullstein 1978 als Taschenbuch--> |
|||
|year=1973 |
|||
|ISBN=3-528-08294-1 <!--ISBN-13=978-3528082949 --> |
|||
|pages=264 |
|||
|language=de}}</ref><ref>Akihiro Kanamori: ''[https://pdfs.semanticscholar.org/79f4/eb47076249937c2057d53226c6f853298826.pdf The Empty Set, The Singleton, And The Ordered Pair.]'' In: ''The Bulletin of Symbolic Logic.'' Bd. 9, Nr. 3, Sept. 2003, Seite 289 ([[Norbert Wiener]] zitierend).</ref> |
|||
== Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások == |
== Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások == |
||
A lap 2020. június 7., 19:36-kori változata
A matematikában üres halmaz alatt olyan halmazt értünk, amelynek nincsen eleme. Tekintettel arra, hogy két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha az elemeik megegyeznek, ezért üres halmaz legfeljebb egy van, hiszen ezen definíció értelmében bármely két üres halmaz egyenlő egymással. Azt, hogy létezik legalább egy üres halmaz, az axiomatikus halmazelméletben általában külön axióma mondja ki.
Nem tévesztendő össze a nullhalmazokkal, melyek nulla mértékű halmazok. Egy ilyen halmaz végtelen sok elemet tartalmazhat.
Definíció
Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük. Jelölése (André Weil vezette be[1]) vagy (az előbbi a nulla elemszámra utal, az utóbbi pedig arra, hogy nincsen eleme). Az iskolai matematikatanításban inkább az utóbbit használják, hogy elkerüljék a félreértést: az üres halmaz nem semmi, hanem elem nélküli halmaz. Korábban használt jelölések: és [2][3]
Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások
Az üres halmaz létezése egy formális-axiomatikus halmazelméletben a részhalmazaxióma következménye. Ha A tetszőleges halmaz, akkor a részhalmazaxióma szerint az {x ∈ A | x ≠ x } szintén egy létező halmaz. Azt, hogy egyáltalán létezik halmaz vagy egy külön létezési axiómából tudjuk, vagy a végtelenségi axióma rögzíti. (Valójában egy formális halmazelméletben egyáltalán nem szükséges egy létezési axióma megkövetelése, hiszen az előbbi A halmaz szerepét a halmazelmélet akármelyik termje játszhatja. Az informális, természetes nyelven kifejtett halmazelméletekben általában „kívánkozik” egy létezési axióma megkövetelése.)
Az üres halmaz egyértelműen van meghatározva a következő értelemben. A
formula tétel, egyrészt az előzőek miatt igaz az egzisztencia, másrészt a meghatározottsági axióma miatt ha van és , melyre a fenti egzisztenciatulajdonság igaz, akkor ezek egyenlők.
Tulajdonságok
Tetszőleges halmazra érvényesek a következő állítások:
Az üres halmaz egy érdekes tulajdonsága, hogy tetszőleges tulajdonságra teljesül a
kijelentés, ellenkező esetben ugyanis létezne nem T tulajdonságú eleme az üres halmaznak, ami azért ellentmondás, mert az üres halmaznak egyáltalán nincs eleme. Például az üres halmaz függvény, rendezett halmaz, sőt szigorúan monoton függvény és félcsoport (alaphalmaza) is, de például nem lehet csoport (alaphalmaza), hiszen ott megkövetelnek legalább egy elem létezését.
A halmazok számosságának a definíciója értelmében a üres halmaz véges halmaz és a számossága . Ugyanis tetszőleges véges H halmaz számossága az n ∈ N természetes szám, ha létezik bijekció H-ból n-be (ahol n a sztenderd halmazelméleti definíció természetes szám objektuma, melyre teljesül az n = {0,1,…,n-1} patologikus tulajdonság). Persze, n = 0 esetén az előbbi halmaz üres, így létezik = bijekció, hisz az üres függvény ilyen.
Jegyzetek
- ↑ Deiser, S. 31.
- ↑ Willard van Orman Quine. Set Theory And Its Logic (angol nyelven). Belknap Press of Harvard University Press, 359 (HC)/ 380 (PB). o. (1963) – Hier: Seite 19.
Willard van Orman Quine. Mengenlehre und ihre Logik (német nyelven). Vieweg+Teubner Verlag, 264. o. (1973) - ↑ Akihiro Kanamori: The Empty Set, The Singleton, And The Ordered Pair. In: The Bulletin of Symbolic Logic. Bd. 9, Nr. 3, Sept. 2003, Seite 289 (Norbert Wiener zitierend).
Hivatkozások
- Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
- Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
- Hajnal András és Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, (1994), Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp., ISBN 963-18-5998-3