„Centrális határeloszlás-tétel” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a helyesír
a ISBN link(ek) sablonba burkolása MediaWiki RfC alapján
1. sor: 1. sor:
A '''centrális határeloszlás-tétel''' (CHT) azt mondja ki, hogy adott feltételek mellett, [[elegendően nagy]] számú és független valószínűségi változó középértéke (várható értéke) jó közelítéssel [[normális eloszlás]]ú, ha a független [[valószínűségi változó]]k jól meghatározott középértékkel és [[szórásnégyzet]]tel rendelkeznek.<ref>Rice, John (1995), Mathematical Statistics and Data Analysis (Second ed.), Duxbury Press, ISBN 0-534-20934-3)</ref>
A '''centrális határeloszlás-tétel''' (CHT) azt mondja ki, hogy adott feltételek mellett, [[elegendően nagy]] számú és független valószínűségi változó középértéke (várható értéke) jó közelítéssel [[normális eloszlás]]ú, ha a független [[valószínűségi változó]]k jól meghatározott középértékkel és [[szórásnégyzet]]tel rendelkeznek.<ref>Rice, John (1995), Mathematical Statistics and Data Analysis (Second ed.), Duxbury Press, {{ISBN|0-534-20934-3}})</ref>


A centrális határeloszlás-tételnek számos változata van. Az általános formájában a valószínűségi változók hasonló eloszlásúaknak kell lenniük. Vannak olyan változatok, ahol a normális eloszlás középértékéhez történő konvergencia a nem azonos eloszlást mutató valószínűségi változóknál is előfordul, bizonyos feltételek mellett.
A centrális határeloszlás-tételnek számos változata van. Az általános formájában a valószínűségi változók hasonló eloszlásúaknak kell lenniük. Vannak olyan változatok, ahol a normális eloszlás középértékéhez történő konvergencia a nem azonos eloszlást mutató valószínűségi változóknál is előfordul, bizonyos feltételek mellett.


A valószínűségi elméletben a centrális határeloszlás-tétel az úgynevezett gyenge konvergenciájú halmaz része. Ez arról a tényről szól, hogy sok független és azonos eloszlású valószínűségi változó összege egy attraktor eloszlás kis halmazához közelít. Ha a független és azonos eloszlású valószínűségi változók szórásnégyzete véges, akkor az attraktor eloszlás a normális eloszlás. Ezzel ellentétben, ha a valószínűségi változó négyzetes törvény szerinti elnyúló farok résszel rendelkezik, a szórásnégyzet végtelen, akkor az alfa-stabil eloszlás felé tart, alfa stabilitás paraméterrel, ahogy a változók száma nő.<ref>Voit, Johannes (2003), The Statistical Mechanics of Financial Markets, Springer-Verlag, p. 124, ISBN 3-540-00978-7</ref>
A valószínűségi elméletben a centrális határeloszlás-tétel az úgynevezett gyenge konvergenciájú halmaz része. Ez arról a tényről szól, hogy sok független és azonos eloszlású valószínűségi változó összege egy attraktor eloszlás kis halmazához közelít. Ha a független és azonos eloszlású valószínűségi változók szórásnégyzete véges, akkor az attraktor eloszlás a normális eloszlás. Ezzel ellentétben, ha a valószínűségi változó négyzetes törvény szerinti elnyúló farok résszel rendelkezik, a szórásnégyzet végtelen, akkor az alfa-stabil eloszlás felé tart, alfa stabilitás paraméterrel, ahogy a változók száma nő.<ref>Voit, Johannes (2003), The Statistical Mechanics of Financial Markets, Springer-Verlag, p. 124, {{ISBN|3-540-00978-7}}</ref>


==Klasszikus CHT==
==Klasszikus CHT==
29. sor: 29. sor:
==A CHT rövid története==
==A CHT rövid története==


Az első verzió Abraham de Moivre francia matematikus nevéhez kötődik (1733).<ref>Henk, Tijms (2004), Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life, Cambridge: Cambridge University Press, p. 169, ISBN 0-521-54036-4</ref>
Az első verzió Abraham de Moivre francia matematikus nevéhez kötődik (1733).<ref>Henk, Tijms (2004), Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life, Cambridge: Cambridge University Press, p. 169, {{ISBN|0-521-54036-4}}</ref>
A publikációt teljesen elfelejtették, majd 1812-ben a híres francia matematikus [[Pierre-Simon Laplace]] vette elő a homályból az elméletet. Az elmélet fontosságát egy orosz matematikus, [[Alekszandr Mihajlovics Ljapunov]] ismerte fel 1901-ben, és bizonyította a tétel működését, a valószínűségi elmélet területén.
A publikációt teljesen elfelejtették, majd 1812-ben a híres francia matematikus [[Pierre-Simon Laplace]] vette elő a homályból az elméletet. Az elmélet fontosságát egy orosz matematikus, [[Alekszandr Mihajlovics Ljapunov]] ismerte fel 1901-ben, és bizonyította a tétel működését, a valószínűségi elmélet területén.
A ’centrális határ-eloszlás’ elnevezést [[Pólya György]] használta először egy publikációjában 1920-ban.<ref>Pólya, George (1920), "Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem", Mathematische Zeitschrift (in German) 8 (3–4): 171–181, doi:10.1007/BF01206525</ref><ref name="Cam, Lucien 1986">Le Cam, Lucien (1986), "The central limit theorem around 1935", Statistical Science 1 (1): 78–91, doi:10.2307/2245503</ref>
A ’centrális határ-eloszlás’ elnevezést [[Pólya György]] használta először egy publikációjában 1920-ban.<ref>Pólya, George (1920), "Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem", Mathematische Zeitschrift (in German) 8 (3–4): 171–181, doi:10.1007/BF01206525</ref><ref name="Cam, Lucien 1986">Le Cam, Lucien (1986), "The central limit theorem around 1935", Statistical Science 1 (1): 78–91, doi:10.2307/2245503</ref>
Az elmélet kifejtéséhez számos matematikus, statisztikus járult hozzá ([[Anders Hald]], [[Augustin Cauchy]], [[Friedrich Bessel]], [[Siméon Denis Poisson]], [[Paul Pierre Lévy]], [[Harald Cramér]]).
Az elmélet kifejtéséhez számos matematikus, statisztikus járult hozzá ([[Anders Hald]], [[Augustin Cauchy]], [[Friedrich Bessel]], [[Siméon Denis Poisson]], [[Paul Pierre Lévy]], [[Harald Cramér]]).
Az első bizonyítások Bernstein, [[Pafnutyij Lvovics Csebisov]], [[Id. Andrej Andrejevics Markov]] és [[Alekszandr Mihajlovics Ljapunov]] neveihez fűződik, 1935 körül.<ref name="Cam, Lucien 1986"/><ref>Bernstein, S.N. (1945) On the work of P.L.Chebyshev in Probability Theory, Nauchnoe Nasledie P.L.Chebysheva. Vypusk Pervyi: Matematika. (Russian) [The Scientific Legacy of P. L. Chebyshev. First Part: Mathematics, Edited by S. N. Bernstein.] Academiya Nauk SSSR, Moscow-Leningrad, 174 pp.</ref> Érdekesség a történetben, hogy [[Alan Turing]] disszertációjában (King's College, University of Cambridge) a CHT bizonyítása szerepelt. Ezt a disszertációt sohasem publikálták.<ref>Hodges, Andrew (1983) Alan Turing: the enigma. London: Burnett Books., pp. 87-88.</ref><ref>Zabell, S.L. (2005) Symmetry and its discontents: essays on the history of inductive probability, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44470-5. (pp. 199 ff.)</ref><ref>Aldrich, John (2009) "England and Continental Probability in the Inter-War Years", Electronic Journ@l for History of Probability and Statistics, vol. 5/2, December 2009. (Section 3)</ref>
Az első bizonyítások Bernstein, [[Pafnutyij Lvovics Csebisov]], [[Id. Andrej Andrejevics Markov]] és [[Alekszandr Mihajlovics Ljapunov]] neveihez fűződik, 1935 körül.<ref name="Cam, Lucien 1986"/><ref>Bernstein, S.N. (1945) On the work of P.L.Chebyshev in Probability Theory, Nauchnoe Nasledie P.L.Chebysheva. Vypusk Pervyi: Matematika. (Russian) [The Scientific Legacy of P. L. Chebyshev. First Part: Mathematics, Edited by S. N. Bernstein.] Academiya Nauk SSSR, Moscow-Leningrad, 174 pp.</ref> Érdekesség a történetben, hogy [[Alan Turing]] disszertációjában (King's College, University of Cambridge) a CHT bizonyítása szerepelt. Ezt a disszertációt sohasem publikálták.<ref>Hodges, Andrew (1983) Alan Turing: the enigma. London: Burnett Books., pp. 87-88.</ref><ref>Zabell, S.L. (2005) Symmetry and its discontents: essays on the history of inductive probability, Cambridge University Press. {{ISBN|0-521-44470-5}}. (pp. 199 ff.)</ref><ref>Aldrich, John (2009) "England and Continental Probability in the Inter-War Years", Electronic Journ@l for History of Probability and Statistics, vol. 5/2, December 2009. (Section 3)</ref>
==A CHT bizonyítása==
==A CHT bizonyítása==
==Az elmélet kiterjesztése==
==Az elmélet kiterjesztése==
45. sor: 45. sor:
*Lindeberg CHT<ref>P. Billingsley (1986). Probability and measure (2 ed.). p. 369.</ref>
*Lindeberg CHT<ref>P. Billingsley (1986). Probability and measure (2 ed.). p. 369.</ref>


*Több dimenziós CHT<ref>Van der Vaart, A. W. (1998), Asymptotic statistics, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49603-2, LCCN .V22 1998 QA276 .V22 1998</ref>
*Több dimenziós CHT<ref>Van der Vaart, A. W. (1998), Asymptotic statistics, New York: Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-49603-2}}, LCCN .V22 1998 QA276 .V22 1998</ref>


*CHT egymástól nem független változók esetén<ref>Johnson, Oliver Thomas (2004) Information theory and the central limit theorem, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-473-6. (p. 88)</ref>
*CHT egymástól nem független változók esetén<ref>Johnson, Oliver Thomas (2004) Information theory and the central limit theorem, Imperial College Press, 2004, {{ISBN|1-86094-473-6}}. (p. 88)</ref>


==Irodalom==
==Irodalom==

A lap 2017. augusztus 25., 20:09-kori változata

A centrális határeloszlás-tétel (CHT) azt mondja ki, hogy adott feltételek mellett, elegendően nagy számú és független valószínűségi változó középértéke (várható értéke) jó közelítéssel normális eloszlású, ha a független valószínűségi változók jól meghatározott középértékkel és szórásnégyzettel rendelkeznek.[1]

A centrális határeloszlás-tételnek számos változata van. Az általános formájában a valószínűségi változók hasonló eloszlásúaknak kell lenniük. Vannak olyan változatok, ahol a normális eloszlás középértékéhez történő konvergencia a nem azonos eloszlást mutató valószínűségi változóknál is előfordul, bizonyos feltételek mellett.

A valószínűségi elméletben a centrális határeloszlás-tétel az úgynevezett gyenge konvergenciájú halmaz része. Ez arról a tényről szól, hogy sok független és azonos eloszlású valószínűségi változó összege egy attraktor eloszlás kis halmazához közelít. Ha a független és azonos eloszlású valószínűségi változók szórásnégyzete véges, akkor az attraktor eloszlás a normális eloszlás. Ezzel ellentétben, ha a valószínűségi változó négyzetes törvény szerinti elnyúló farok résszel rendelkezik, a szórásnégyzet végtelen, akkor az alfa-stabil eloszlás felé tart, alfa stabilitás paraméterrel, ahogy a változók száma nő.[2]

Klasszikus CHT

Legyenek X1, ..., Xn egy n elemszámú minta tagjai, egy független és azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata, µ várható értékkel és σ2 szórásnégyzettel. Tegyük fel, hogy a minták átlaga:

A nagy számok törvénye szerint a mintaátlagok majdnem biztosan a µ várható értékhez konvergálnak, ahogy n → ∞. A klasszikus CHT leírja a középérték, µ körüli sztochasztikus fluktuáció méretét és eloszlási formáját a konvergencia során. Pontosabban azt állítja, hogy ahogy n nő, a minta átlaga Sn és annak határértéke (µ) közötti különbség eloszlása, ha megszorozzuk a n tényezővel (azaz n(Sn − µ)), akkor közelít a normális eloszláshoz, 0 középértékkel és σ2 szórásnégyzettel. Ha n elég nagy, akkor Sn eloszlása közel normális eloszlású µ középértékkel és σ2/n szórásnégyzettel. Az elmélet hasznossága az, hogy (Sn − µ) közelít a normálishoz, tekintet nélkül az egyedi Xi-k eloszlásának formáitól.

Alkalmazás, példa

Kockadobás –CHT működése

A mellékelt ábrán látható, hogy a hatoldalú kocka dobásának eloszlása az n növelése függvényében, az eloszlás tart a normális eloszláshoz.

Az USA-ban 1973 és 1978 között vizsgált baleseti halálok eloszlása is tart a normális eloszlás felé a CHT miatt.

Számos esetet publikáltak, ahol a CHT törvénye működik.[3]

Az úgynevezett véletlenszerű bolyongáskor követett útvonalak eloszlásai is tendálnak a normális eloszlás felé[4] Nagy számú pénzérme feldobásakor a „fej” eredmények normális eloszlást mutatnak az összes fejre viszonyítva (vagy írásra). Elektronikus zajok természete is normális eloszlást mutat elegendően nagy számú kísérletnél. Általánosságban is elmondható, hogy minél több mérést végzünk független változókkal egyenlő befolyással (körülmények között), akkor az eloszlás tart a normális eloszlás felé. Számos statisztikai eredmény és számítógépes megoldás mutatja a konvergenciát a centrális határeloszlás szerint.[5]

A CHT rövid története

Az első verzió Abraham de Moivre francia matematikus nevéhez kötődik (1733).[6] A publikációt teljesen elfelejtették, majd 1812-ben a híres francia matematikus Pierre-Simon Laplace vette elő a homályból az elméletet. Az elmélet fontosságát egy orosz matematikus, Alekszandr Mihajlovics Ljapunov ismerte fel 1901-ben, és bizonyította a tétel működését, a valószínűségi elmélet területén. A ’centrális határ-eloszlás’ elnevezést Pólya György használta először egy publikációjában 1920-ban.[7][8] Az elmélet kifejtéséhez számos matematikus, statisztikus járult hozzá (Anders Hald, Augustin Cauchy, Friedrich Bessel, Siméon Denis Poisson, Paul Pierre Lévy, Harald Cramér). Az első bizonyítások Bernstein, Pafnutyij Lvovics Csebisov, Id. Andrej Andrejevics Markov és Alekszandr Mihajlovics Ljapunov neveihez fűződik, 1935 körül.[8][9] Érdekesség a történetben, hogy Alan Turing disszertációjában (King's College, University of Cambridge) a CHT bizonyítása szerepelt. Ezt a disszertációt sohasem publikálták.[10][11][12]

A CHT bizonyítása

Az elmélet kiterjesztése

A klasszikus elmélet bizonyítása

CHT variánsok

  • Több dimenziós CHT[15]
  • CHT egymástól nem független változók esetén[16]

Irodalom

  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  
  • Barany, Imre & Vu, Van: Central limit theorems for Gaussian polytopes. (hely nélkül): The Annals of Probability (Institute of Mathematical Statistics) 35 (4). 2007. 1593–1621. o.  
  • Durrett, Richard: Probability: theory and examples (4th ed.). (hely nélkül): Cambridge University Press. 2004. ISBN 0521765390  

További információk

Kapcsolódó szócikkek

Források

  1. ↑ Rice, John (1995), Mathematical Statistics and Data Analysis (Second ed.), Duxbury Press, ISBN 0-534-20934-3)
  2. ↑ Voit, Johannes (2003), The Statistical Mechanics of Financial Markets, Springer-Verlag, p. 124, ISBN 3-540-00978-7
  3. ↑ Dinov, Christou & Sanchez (2008)
  4. ↑ SOCR CLT Activity wiki
  5. ↑ Marasinghe, M., Meeker, W., Cook, D. & Shin, T.S. (1994 August), "Using graphics and simulation to teach statistical concepts", Paper presented at the Annual meeting of the American Statistician Association, Toronto, Canada.
  6. ↑ Henk, Tijms (2004), Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life, Cambridge: Cambridge University Press, p. 169, ISBN 0-521-54036-4
  7. ↑ Pólya, George (1920), "Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem", Mathematische Zeitschrift (in German) 8 (3–4): 171–181, doi:10.1007/BF01206525
  8. ↑ a b Le Cam, Lucien (1986), "The central limit theorem around 1935", Statistical Science 1 (1): 78–91, doi:10.2307/2245503
  9. ↑ Bernstein, S.N. (1945) On the work of P.L.Chebyshev in Probability Theory, Nauchnoe Nasledie P.L.Chebysheva. Vypusk Pervyi: Matematika. (Russian) [The Scientific Legacy of P. L. Chebyshev. First Part: Mathematics, Edited by S. N. Bernstein.] Academiya Nauk SSSR, Moscow-Leningrad, 174 pp.
  10. ↑ Hodges, Andrew (1983) Alan Turing: the enigma. London: Burnett Books., pp. 87-88.
  11. ↑ Zabell, S.L. (2005) Symmetry and its discontents: essays on the history of inductive probability, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44470-5. (pp. 199 ff.)
  12. ↑ Aldrich, John (2009) "England and Continental Probability in the Inter-War Years", Electronic Journ@l for History of Probability and Statistics, vol. 5/2, December 2009. (Section 3)
  13. ↑ Billingsley (1995, p.362)
  14. ↑ P. Billingsley (1986). Probability and measure (2 ed.). p. 369.
  15. ↑ Van der Vaart, A. W. (1998), Asymptotic statistics, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49603-2, LCCN .V22 1998 QA276 .V22 1998
  16. ↑ Johnson, Oliver Thomas (2004) Information theory and the central limit theorem, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-473-6. (p. 88)
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Centrális_határeloszlás-tétel&oldid=19065095”