Dirac-delta

A Dirac delta, vagy Dirac delta függvény, vagy δ függvény a valós számok tartományában mindenhol zéró, kivéve az origóban, ahol az integrálja 1.

Dirac delta sematikus ábrázolása

Dirac delta, mint a 0 középpontú normális eloszlás határértéke

A Dirac delta másik szokványos meghatározása: egy olyan függvény, mely egy ponton végtelen nagy, és végtelenül keskeny, mely egy idealizált tüske impulzust, tömegpontot, vagy pontszerű töltést jelképez. Valójában a Dirac delta nem egy függvény, de különböző megkötésekkel, és manipulációkkal függvénynek is tekinthető.

Az elektronikában, a jelfeldolgozás területén a Dirac delta az egységnyi impulzus szimbóluma.

Diszkrét analógiája a Kronecker delta függvény, melyet a véges tartományban értelmeznek, és 0, valamint 1 értéket vehet fel.

A Dirac delta fogalmát Paul Dirac elméleti fizikus vezette be, Dirac félreérthetetlenül végtelen nagy értékről beszélt.

Tisztán matematikai szempontból, a Dirac delta szigorúan véve nem függvény. Matematikai objektumnak úgy értelmezhető, ha egy integrál belsejében fordul elő.

A Dirac delta manipulálható, mintha függvény lenne, formálisan eloszlásnak is definiálható, mely egy mérték (egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel).

Áttekintés

A Dirac delta ábrázolása a teljes x-tengelyen és a pozitív y-tengelyen történik.

A Dirac delta nem egy valódi függvény, legalább is a valós számok tartományában.

Például a ƒ(x) = δ(x) és g(x) = 0 kifejezések mindenhol egyenlőek, kivéve az x = 0 helyen, mégis van integráljuk, mely különböző.

A Lebesque integrál-elmélet szerint, ha ƒ és g függvények, és ƒ = g majdnem mindenhol, akkor ƒ integrálható akkor és csak akkor, ha g is integrálható, és az ƒ és g azonosak. A Dirac deltát keskeny magas tűimpulzusként modellezik. Ilyen, például előfordul az elektronikában, vagy baseball játék modellezésénél, egy nagy ütés során. Az alkalmazott matematikában olyan függvényeknél használják, ahol az origóban egy nagy, keskeny kiugrás van, például a Gauss-eloszlásnál, a központban, amikor a szórásnégyzet tart a zéróhoz.

Definíció

A Dirac deltát úgy lehet lazán definiálni, mintha egy függvény lenne a valós tengelyen, mely mindenhol zéró, kivéve az origóban, ahol végtelen nagy: $\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

és mely kissé kényszerített módon kielégíti az alábbi azonosságot:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$

Ez csupán heurisztikus definíció. A Dirac delta nem függvény a tradicionális értelemben. A Dirac delta rigorózus definiálása a mérték elmélet, vagy az eloszlás elméletek keretén belül lehetséges.

Dirac delta ábrázolása

A Dirac delta függvény úgy is tekinthető, mint függvények sorozatának határértéke:

$\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),\,$

ahol η_ε(x)-et néha naszcens delta függvénynek is hívják.

Egy másik ábrázolás: A Dirac delta a zéró középpontú normál eloszlás határértéke, ahol a szélek megszünnek: $\delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}$

ahol a → 0]] (lásd még fenti ábra)

Infinitezimális delta függvény

Augustin Cauchy, francia matematikus használta az infinitezimális α-át egy egységnyi impulzus leírására számos cikkében 1827-ben. , mely egy magas és vékony Dirac delta tipusú függvényhez hasonlít, mely kielégíti: $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$.kifejezést.

Yanashita, japán matematikus, említi a 'modern' Dirac delta függvényt a hiperreál számokkal kapcsolatban.

Itt a Dirac delta egy függvényben szerepel, melynek olyan tulajdonságai vannak, mint minden valós F függvénynek:

$\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$

mint ahogy azt Fourier és Cauchy említette.  

Dirac fésű

Dirac fésű

A Dirac fésű a Dirac delták egy végtelen sorozata a T intervallumban. A Dirac delta „impulzus-vonat”-nak is nevezik Dirac fésűt, vagy Shah-eloszlásnak. Ez egy mintavételi függvény, mely gyakran fordul elő a digitális adatfeldolgozás területén, és a diszkrét idő/jel analízisnél. A Dirac fésű megadható egy végtelen összegként, mely határértéke eloszlásként értelmezhető:

$\Delta (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),$

mely tömegpontok sorozata.

A Dirac fésű egyenlő a Fourier transzformáltjával. Ez szignifikáns, mert ha ƒ egy Schwartz függvény, akkor ƒ periodizációját egy konvolucióval fejezhetjük ki:

$(f*\Delta )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).$

Részletesen:

$(f*\Delta )^{\wedge }={\hat {f}}{\widehat {\Delta }}={\hat {f}}\Delta$

mely pontosan a Poisson-féle összegző formula

Kapcsolat a Kronecker delta függvénnyel

A Kronecker delta függvény $\delta _{ij}$ definíciója:

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}$

minden i, j integerre. Ez a függvény kielégíti a következő szűrő tulajdonságot: Ha $(a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }$ bármely végtelen sorozat, akkor

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.$

Hasonlóan, bármely valós, vagy komplex f folytonos függvényre a Dirac delta kielégíti a szűró tulajdonságot:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).$

Ez mutatja, hogy a Kronecker delta függvény a Dirac delta függvény diszkrét analógja.

Dirac delta alkalmazása a valószínűség elméletben

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Dirac deltát gyakran használják diszkrét eloszlások megjelenítésére, vagy részben diszkrét, részben folytonos eloszlásra, ahol a valószínűség sűrűségfüggvényt használják (amit normál esetben csak a teljesen folytonos eloszlásokra alkalmaznak). Például, egy diszkrét eloszlás valószínűség sűrűségfüggvénye ƒ(x) tartalmazza a $\mathbf {x} =\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ pontokat, a megfelelő valószínűségekkel $p_{1},\dots ,p_{n}\,$, és így írhatjuk:

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$

ahol δ a Dirac delta

Egy másik példa: Legyen egy eloszlás olyan, hogy az idő 6/10 részében normál eloszlású, 4/10 részben egy bizonyos 3.5 étrékhez tart, azaz részben folytonos, részben diszkrét, azaz kevert eloszlású. Ennek az eloszlásnak a sűrűségfüggvénye:

$f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).$

A Dirac deltát más módon is fel lehet használni: Például, a diffúziós folyamat (mint a Brown mozgás) idejének ábrázolására. Egy sztochasztikus folyamat B(t) helyi ideje:

$\ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds$

mely azt az idő mennyiséget mutatja, amikor a folyamat az x pontban van:

$\ell (x,t)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\epsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\epsilon ,x+\epsilon ]}(B(s))\,ds$

ahol $\mathbf {1} _{[x-\epsilon ,x+\epsilon ]}$ az [x−ε,x+ε] indikátor függvénye.

Irodalom

• Arfken, G. B. & Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0.
• Davis, Howard Ted & Thomson, Kendall T (2000), Linear algebra and linear operators in engineering with applications in Mathematica, Academic Press, ISBN 0-12-206349-X, <http://books.google.com/?id=3OqoMFHLhG0C&pg=PA344#v=onepage&q>
• Dieudonné, Jean (1976), Treatise on analysis. Vol. II, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-215502-4.
• Dirac, Paul (1958), Principles of quantum mechanics (4th ed.), Oxford at the Clarendon Press, ISBN 978-0-19-852011-5.
• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, vol. 153, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7.
• Gel'fand, I.M. & Shilov, G.E. (1966–1968), Generalized functions, vol. 1–5, Academic Press.
• Hartman, William M. (1997), Signals, sound, and sensation, Springer, ISBN 978-1-56396-283-7, <http://books.google.com/books?id=3N72rIoTHiEC>.
• Hewitt, E & Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Laugwitz, D. (1989), "Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820", Arch. Hist. Exact Sci. 39 (3): 195–245, DOI 10.1007/BF00329867.
• Levin, Frank S. (2002), "Coordinate-space wave functions and completeness", An introduction to quantum theory, Cambridge University Press, pp. 109ff, ISBN 0-521-59841-9, <http://books.google.com/?id=oc64f4EspFgC&pg=PA109>
• Li, Y. T. & Wong, R. (2008), "Integral and series representations of the Dirac delta function", Commun. Pure Appl. Anal. 7 (2): 229–247, DOI 10.3934/cpaa.2008.7.229.
• de la Madrid, R.; Bohm, A. & Gadella, M. (2002), "Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum", Fortschr. Phys. 50 (2): 185–216, DOI 10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO;2-S.
• McMahon, D. (2005-11-22), "An Introduction to State Space", Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide, Demystified Series, New York: McGraw-Hill, pp. 108, ISBN 0-07-145546-9, doi:10.1036/0071455469, <http://www.mhprofessional.com/product.php?isbn=0071455469&cat=&promocode=>. Hozzáférés ideje: 2008-03-17.
• van der Pol, Balth. & Bremmer, H. (1987), Operational calculus (3rd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0327-6.
• Rudin, W. (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8.
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Vladimirov, V. S. (1971), Equations of mathematical physics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1713-9.
• Yamashita, H. (2006), "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach", Journal of Mathematical Physics 47 (9): 092301, DOI 10.1063/1.2339017
• Yamashita, H. (2007), "Comment on "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]", Journal of Mathematical Physics 48 (8): 084101, DOI 10.1063/1.2771422

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html
• http://www2.ph.ed.ac.uk/~wjh/teaching/Fourier/documents/delta.pdf
• Digitális jelfeldolgozás
• Mértékelmélet
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika