Kronecker delta függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Kronecker delta (másként Kronecker-szimbólum) matematikai kétváltozós, általában egész számok függvénye, s amelynek értéke 1, ha a két szám egyenlő, minden más esetben 0. Így például \delta_{12} = 0, de \delta_{33} = 1. Jelölése δij, és inkább jelölési rövidítésnek, mint függvénynek tekintik. A függvényt Leopold Kronecker (18231891) német matematikusról nevezték el.

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{ha } i=j \\
0, & \mbox{ha } i \ne j \end{matrix}\right.

Más jelölések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Iverson-féle zárójeles jelölés használatával:

\delta_{ij} = [i=j ]\,

Gyakran a \delta_i jelölést használják:

\delta_{i} = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{ha } i=0 \\
0, & \mbox{ha } i \ne 0 \end{matrix}\right.

A lineáris algebrában tenzornak tekintik és így írják: \delta^i_j.

Digitális jelfeldolgozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ugyanez a gondolat a digitális jelfeldolgozásban is megjelenik, és egy egész számokon értelmezett függvényként reprezentálják:


\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}

Ezt a függvényt impulzusfüggénynek vagy egységimpulzusnak nevezik. Ha a jelfeldolgozás egy elemét éri, akkor az outputot az adott elem impulzusválaszának hívják.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • j\in\mathbb Z:
\sum_{i=-\infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j.
  • Ha az egészeket mértéktérnek tekintjük, és ellátjuk a számlálómértékkel, ekkor ez a tulajdonság megegyezik a Dirac-deltát definiáló tulajdonsággal:
\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),

A Dirac-deltát a Kronecker-delta analógiájára nevezték el. A jelfeldolgozásban aszerint tesznek köztük különbséget, hogy az idő folytonos-e, vagy diszkrét. Megállapodás szerint \delta(t)\, folytonos időt jelöl (Dirac), és az olyan argumentumok, mint i, j, k, l, m, és n a diszkrét idő számára vannak fenntartva (Kronecker). Egy másik elterjedt gyakorlat szerint a diszkrét sorozatokat szögletes zárójellel jelölik, így:  \delta[n]\,.

A Kronecker-delta a matematika több területén is felbukkan.

Lineáris algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris algebrában az identitásmátrix felírható \delta_{ij}\, alakjában.

Ha a Kronecker-deltát tenzornak tekintjük, akkor így írható fel:

\delta^i_j

ahol i kovariáns, és j kontravariáns index.

Ez az (1,1) tenzor reprezentálja:

A Kronecker-delta kiterjesztései[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több dimenzióban hasonlóan definiálhatunk egy többváltozós függvényt:

\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \prod_{k=1}^n \delta_{i_k j_k}.

Ez a függvény akkor és csak akkor veszi fel az 1 értéket, ha a felső indexek megegyeznek az alsókkal, különben nulla.

Reprezentáció integrálokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex függvénytanból ismert reziduumok felhasználásával a Kronecker-delta minden n-re reprezentálható ezzel az integrállal:

 \delta_{x,n} = \frac1{2\pi i} \oint z^{x-n-1} dz,

ahol az integrálási út pozitív forgásirányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) megkerüli a nullát.

Ez egy elforgatással a következő formában is írható:

 \delta_{x,n} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\phi} d\phi,

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]