Skálaparaméter

A skálaparaméter a valószínűségi eloszlások egy speciális numerikus paramétere, a valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén.

Minél nagyobb a skálaparaméter, annál terjedelmesebb, szétszórtabb az eloszlás.

Definíció[szerkesztés]

Ha a valószínűségi eloszlásoknál van egy s paraméter (és más paraméter θ), melyekre a kumulatív eloszlásfüggvény kielégíti az alábbiakat:

F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!

akkor s–t skálaparaméternek hívják, mivel ez az érték határozza meg a valószínűségi eloszlás szétszórtságát, skáláját (arányait).

Ha s nagy, akkor az eloszlás terjedelmes, szétszórt lesz, ha s kis értékű, akkor az eloszlás koncentráltabb.

Ha a valószínűség-sűrűség létezik az összes paraméter értékre, akkor a sűrűség (csak mint a skálaparaméter függvénye) kielégíti:

f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!

függvényt, ahol f a sűrűség standardizált változatának a jele.

$f_{s}$ -et felírhatjuk $g(x)=x/s$ kifejezéssel is, a következőképpen:

f_{s}(x)=f(x/s)\times 1/s=f(g(x))\times g'(x).\!

Mivel f a valószínűség sűrűség függvény:

1=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.\!

A behelyettesítési szabály alkalmazásával:

1=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(g(x))\times g'(x)\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.\!

Így $f_{s}$ szintén helyesen normalizált lett.

Néhány eloszlás használja az úgynevezett arányparamétert, mely egyszerűen a skálaparaméter reciproka.

Így például az exponenciális eloszlás β skálaparaméterrel és valószínűség sűrűséggel

f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0

leírható a λ arányparaméterrel is:

f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.

A normális eloszlásnak két paramétere van: a helyparaméter $\mu$ és a skálaparaméter $\sigma$ .

Praktikus okokból a normális eloszlást gyakran jellemzik a skálaparaméter négyzetével, $\sigma ^{2}$ , mely megfelel az eloszlás szórásnégyzetének.

A gamma-eloszlást rendszerint $\theta$ skálaparaméterrel jellemzik, vagy annak inverzével.
Például, ha a helyparaméter és a skálaparaméter is egyenlő zérussal, akkor a normális eloszlás standard normális eloszlásként ismert, és a Cauchy-eloszlás is, mint standard Cauchy-eloszlás.

Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.