„Holomorf függvények” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
43. sor: | 43. sor: | ||
==Ellenpéldák== |
==Ellenpéldák== |
||
* Nem holomorf a |
* Nem holomorf a konjugált operátor: <math>z \mapsto \overline{z}</math> |
||
* Nem holomorf a valósrész képzés operátor: <math> a + bi = z \mapsto Re(z) = a</math> |
* Nem holomorf a valósrész képzés operátor: <math> a + bi = z \mapsto Re(z) = a</math> |
||
A lap 2008. november 24., 14:21-kori változata
A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. A nyílt halmazon értelmezett, komplex értelemben differenciálható komplex függvényeket nevezzük holomorfnak.
A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.
Definíció
1. Definíció:Legyen adva az nyílt halmaz, és az leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden pontban létezik a következő határérték:.
Ezt a határértéket az -beli (komplex)deriváltjának nevezzük, és -lal jelöljük.
2.Definíció: holomorf, ha előáll -sugarú (alkalmasan válaszott -rel) környezetében a következő alakban:
ahol komplex szám (természetesen függ -tól), pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz , ha . Ekkor .
3. Definíció: holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:
Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha két görbe, és , akkor
Példák
Holomorf a függvény.
A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy holomorf függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.
Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az
határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valósban megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt -vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha , akkor . Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon holomorf módon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezés tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:
Legyen
A koszinusz- és szinusz-függvény holomorf a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:
Ellenpéldák
- Nem holomorf a konjugált operátor:
- Nem holomorf a valósrész képzés operátor:
Tulajdonságok
- Bizonyítható, hogy a holomorf függvények végtelenszer differenciálhatóak, azaz analitikus függvények.
- Holomorf függvények kompozíciója holomorf.
- Holomorf függvények lineáris kombinációja holomorf.
- Holomorf függvények szorzata holomorf.
- Holomorf függvények hányadosa is holomorf, amennyiben a nevező nem nulla.