„Konstans függvény” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2008. május 31., 20:52-kori változata

Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egy elemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.

Tulajdonságok

A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.

A következők ekvivalensek:

f : A → B konstans
nden g, h függvényre g, h : C → A, f o g = f o h, (a

kategóriaelméletben így definiálják)

bármely függvénnyel komponáljuk $f$ -et, mindig konstans függvényt

kapunk.

Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.

A konstans függvények részben rendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.

Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. [[Összefüggő halmaz]]on minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.

További összefüggések, általánosítás

A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.

A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.

Tartalmazzon az $Y$ halmaz egynél több elemet. Az $X$ topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans $f:X\to Y$ függvény konstans.
Ha az $A$ topologikus tér összefüggő, és a $B$ topologikus tér diszkrét, akkor a $g:A\to B$ folytonos függvény konstans.

Források

Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
Thomas-féle kalkulus I., II., III.
Halász Gábor: Komplex függvénytan
konstans függvény a PlanetMath oldalain
konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egy elemű.
+Egy [[függvény (matematika)|függvény]]t ''konstans''nak nevezünk, ha [[értékkészlet]]e egy elemű.
-Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és
+Formálisan: f(x)=f(y) minden, az [[értelmezési tartomány]]ban levő x-re és
 y-ra.
-Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van
+Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az [[üres halmaz]]on van
 értelmezve.
-Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a
+Ha [[polinom]]ként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans [[fokszám|foka]] 0, a
-konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.
+konstans [[nulla]] fokát pedig nem értelmezzük.
 ==Tulajdonságok==
-A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.
+A konstans függvények jellemezhetők a [[függvénykompozíció]] segítségével.
 A következők ekvivalensek:
@@ 18. sor: / 18. sor: @@
 kapunk.
-Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós
+Ha f valós [[intervallum]]on értelmezett konstans függvény és valós
-értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény.
+értékű, akkor [[differenciálhatóság|differenciálható]], és [[derivált]]ja az azonosan 0 függvény.
-Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja
+Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. [[Grafikon]]ja
 vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes
 vagy egyenes.
-A konstans függvények részben rendezett halmazokon egyszerre
+A konstans függvények [[részben rendezett halmaz]]okon egyszerre
 rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás
 megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai
 lennének.
-Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő
+[[topologikus tér|Topologikus ter]]ek bármely konstans leképezése folytonos. [[Összefüggő
-halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon
+halmaz]]on minden lokálisan konstans függvény az egész [[halmaz]]on
 konstans.
 Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor
-idempotens.
+[[idempotencia|idempotens]].
 ==További összefüggések, általánosítás==
-* A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.
+* A [[komplex függvénytan]] Liouville tétele szerint [[korlátosság|korlátos]] [[egészfüggvény]] konstans. Következmény: pólushely nélküli [[elliptikus függvény]] konstans.
 A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.