Módusz

A módusz egy sorozat (általában egy statisztikai minta értékei) leggyakrabban előforduló eleme.

A statisztikai középérték mutatók (medián, módusz, számtani átlag, harmonikus átlag, mértani átlag, négyzetes átlag) egyike, amely fontos információt hordoz egy valószínűségi változóról illetve egy statisztikai sokaságról egyetlen értékben. A módusz általában különbözik az átlagtól és a mediántól, továbbá lényegesen eltérhet azoktól erősen aszimmetrikus eloszlások esetén.

A módusz nem feltétlenül egyértelmű, mivel ugyanazt a maximum gyakoriságot több különböző érték is elérheti. A legszélsőségesebb esetek az úgynevezett egyenletes eloszlások, ahol minden érték egyformán valószínű.

A kifejezés egyaránt használatos a matematikában a valószínűségi eloszlásoknál és a statisztikai mintáknál, valamint a fizikában.

Valószínűségi változó módusza

A „legdivatosabb”, legvalószínűbb érték: egy folytonos valószínűség-eloszlás jellemző adata: olyan pont, ahol az eloszlás sűrűségfüggvényének lokális maximuma van. Egy eloszlásnak tehát több módusza is lehet. Az egyetlen móduszú (unimodális) eloszlások esetében a móduszt az eloszlás centrumát jellemző adatként használjuk. – Szimmetrikus unimodális eloszlások esetében a módusz megegyezik a mediánnal és a várható értékkel is, feltéve, hogy ez létezik. Aszimmetrikus eloszlásoknál hasznos lehet a módusz, a medián és a várható érték relatív helyzetének mint az eloszlás jellemző tulajdonságának vizsgálata.

Statisztikai minta módusza

A módusz – a számtani középhez és a mediánhoz hasonlóan – helyzeti középérték. A módusz nem mindig határozható meg és nem is mindig létezik.

Diszkrét valószínűségi változóból származó minta esetén

A minta leggyakrabban előforduló értéke vagy értékei.

Például

Egy folyamatos üzemben feljegyezték az óránkénti gépleállások számát 24 órán keresztül és a következő értékeket kapták:

Óra	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Leállások száma	5	3	1	2	0	3	4	5	2	6	1	1	4	0	2	3	2	0	2	3	1	4	1	6

Az áttekinthetőség végett a fenti értékeket egy gyakorisági táblázatba rendezve láthatjuk, hogy két érték is szerepel móduszként: az óránkénti gépleállások száma 5 alkalommal volt 1 és 5 alkalommal 2, tehát mindkét érték móduszként szerepel, vagy másként a módusz nem határozható meg egyértelműen.

leállások száma óránként	az előfordulások gyakorisága (fi)	relatív gyakoriság (gi)
0	3	0,125
1	5	0,208
2	5	0,208
3	4	0,168
4	3	0,125
5	2	0,083
6	2	0,083
Összesen	24	1,000

Folytonos valószínűségi változóból származó minta esetén

A módusz a gyakorisági görbe maximum helye, amely az osztályközös gyakorisági sorból becsülhető. A móduszt mindig az az osztályköz tartalmazza, amelyikhez a hisztogram legmagasabb oszlopa tartozik.

Osztályközös gyakorisági sor esetén a következő képlettel becsülhetjük a móduszt:

$Mo=x_{mo,0}+{\frac {f_{mo}-f_{mo-1}}{f_{mo}-f_{mo-1}+f_{mo}-f_{mo+1}}}\cdot h_{mo}$

$x_{mo,0}$: a módusz osztályközének alsó határa

$f_{mo}$: a módusz osztályközének gyakorisága

$f_{mo-1}$: a móduszt megelőző osztályköz gyakorisága

$f_{mo+1}$: a móduszt követő osztályköz gyakorisága

$h_{mo}$: a módusz osztályközének hossza

a módusz osztályköze: az az osztályköz, ahol $f_{i}$ a legnagyobb

A képlet csak egyenlő hosszúságú osztályközök esetén érvényes, ellenkező esetben $f_{i}$ helyett ${\frac {f_{i}}{h_{i}}}$ használata szükséges.

Kapcsolódó szócikkek

• medián
• számtani közép
• harmonikus közép
• mértani közép
• négyzetes közép
• kvantilisek