„Konstans függvény” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Vandalizmus vagy teszt szerkesztés visszaállítása |
1 forrás archiválása és 0 megjelölése halott linkként. #IABot (v2.0beta10) |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
<!--Kellene egy általános iskolai tankönyv, ami a függvényeket tárgyalja. A grafikon miatt. És egy topológiakönyv a topológia részhez.--> |
<!--Kellene egy általános iskolai tankönyv, ami a függvényeket tárgyalja. A grafikon miatt. És egy topológiakönyv a topológia részhez.--> |
||
* {{planetmath reference|id=4727|title=konstans függvény}} |
* {{planetmath reference|id=4727|title=konstans függvény}} |
||
* [http://www.mathace.net/functions-algebra/constant konstans függvények] a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések |
* [https://web.archive.org/web/20080102023439/http://www.mathace.net/functions-algebra/constant konstans függvények] a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések |
||
[[Kategória:Függvények]] |
[[Kategória:Függvények]] |
A lap 2018. november 17., 04:12-kori változata
Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.
Tulajdonságok
A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.
A következők ekvivalensek:
- f : A → B konstans
- minden g, h függvényre g, h : C → A, f o g = f o h, (a kategóriaelméletben így definiálják)
- bármely függvénnyel komponáljuk -et, mindig konstans függvényt kapunk.
Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.
A konstans függvények részbenrendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.
Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.
További összefüggések, általánosítás
- A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.
A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.
- Tartalmazzon az halmaz egynél több elemet. Az topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans függvény konstans.
- Ha az topologikus tér összefüggő, és a topologikus tér diszkrét, akkor a folytonos függvény konstans.
Bizonyítás: A tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az térben. Az tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.
Források
- Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
- Thomas-féle kalkulus I., II., III.
- Halász Gábor: Komplex függvénytan
- konstans függvény a PlanetMath oldalain
- konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések