„Négyzetes piramisszámok” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
1. sor: | 1. sor: | ||
[[Kép:Square pyramidal number.svg|bélyegkép|jobbra|A negyedik piramisszám a [[30 (szám)|30]], mert 1+4+9+16=30]] |
[[Kép:Square pyramidal number.svg|bélyegkép|jobbra|A negyedik piramisszám a [[30 (szám)|30]], mert 1+4+9+16=30]] |
||
'''Piramisszám'''nak (vagy '''n |
'''Piramisszám'''nak (vagy '''n-edik piramis szám'''nak) nevezzük az első ''n'' darab pozitív [[egész számok|egész szám]] négyzetösszegét, más szóval az első ''n'' [[négyzetszámok|négyzetszám]] összegét. |
||
Az elnevezést a fogalom [[geometria]]i jelentése motiválja, mert pontosan piramisszám számosságú [[gömb]]ből lehet olyan piramist építeni, melynek alapja <math>n \times n</math> méretű négyzet. |
Az elnevezést a fogalom [[geometria]]i jelentése motiválja, mert pontosan piramisszám számosságú [[gömb]]ből lehet olyan piramist építeni, melynek alapja <math>n \times n</math> méretű négyzet. |
||
== Képletek == |
== Képletek == |
||
Az ''n |
Az ''n''-edik piramisszám formális definíciója a következő: |
||
:<math>P_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + n^2</math> |
:<math>P_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + n^2</math> |
||
amely a tömörebben is kifejezhető a [[szumma|Σ]] szimbólummal: |
amely a tömörebben is kifejezhető a [[szumma|Σ]] szimbólummal: |
||
:<math>P_n = \sum^n_{i=1} i^2</math> |
:<math>P_n = \sum^n_{i=1} i^2</math> |
||
Nem csak összegként, hanem zárt alakban is kifejezhető: |
Nem csak összegként, hanem zárt alakban is kifejezhető: |
||
:<math>P_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> |
:<math>P_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
:<math>P_n = {{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}</math> |
:<math>P_n = {{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}</math> |
||
Az [[1 (szám)|1]]-en kívül '''csak egy''' olyan szám van, amely egyben piramisszám és négyzetszám is, és ez a szám a 4900, amely a 70. négyzetszám és a 24. piramisszám. Ezt a tényt [[G. N. Watson]] |
Az [[1 (szám)|1]]-en kívül '''csak egy''' olyan szám van, amely egyben piramisszám és négyzetszám is, és ez a szám a 4900, amely a 70. négyzetszám és a 24. piramisszám. Ezt a tényt [[G. N. Watson]]nak sikerült belátnia [[1918]]-ban. |
||
== Az első néhány == |
== Az első néhány == |
A lap 2015. február 23., 21:50-kori változata
Piramisszámnak (vagy n-edik piramis számnak) nevezzük az első n darab pozitív egész szám négyzetösszegét, más szóval az első n négyzetszám összegét.
Az elnevezést a fogalom geometriai jelentése motiválja, mert pontosan piramisszám számosságú gömbből lehet olyan piramist építeni, melynek alapja méretű négyzet.
Képletek
Az n-edik piramisszám formális definíciója a következő:
amely a tömörebben is kifejezhető a Σ szimbólummal:
Nem csak összegként, hanem zárt alakban is kifejezhető:
Tulajdonságok
A piramisszámok kapcsolatban állnak a binomiális együtthatókkal is a következőképpen:
Az 1-en kívül csak egy olyan szám van, amely egyben piramisszám és négyzetszám is, és ez a szám a 4900, amely a 70. négyzetszám és a 24. piramisszám. Ezt a tényt G. N. Watsonnak sikerült belátnia 1918-ban.
Az első néhány
Az első néhány piramisszám a következő: