„Konstans függvény” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2014. november 15., 00:29-kori változata

Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.

Tulajdonságok

A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.

A következők ekvivalensek:

f : A → B konstans
minden g, h függvényre g, h : C → A, f o g = f o h, (a kategóriaelméletben így definiálják)
bármely függvénnyel komponáljuk $f$ -et, mindig konstans függvényt kapunk.

Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.

A konstans függvények részbenrendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.

Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.

További összefüggések, általánosítás

A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.

A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.

Tartalmazzon az $Y$ halmaz egynél több elemet. Az $X$ topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans $f:X\to Y$ függvény konstans.

Ha az $A$ topologikus tér összefüggő, és a $B$ topologikus tér diszkrét, akkor a $g:A\to B$ folytonos függvény konstans.

Bizonyítás: A $B$ tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az $A$ térben. Az $A$ tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.

Források

Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
Thomas-féle kalkulus I., II., III.
Halász Gábor: Komplex függvénytan
konstans függvény a PlanetMath oldalain
konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-Egy [[függvény (matematika)|függvényt]] ''konstans''nak nevezünk, ha [[értékkészlet]]e egyelemű.
+Egy [[függvény (matematika)|függvényt]] ''konstans''nak nevezünk, ha [[értékkészlet]]e egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az [[értelmezési tartomány]]ban levő x-re és y-ra.
+Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az [[üres halmaz]]on van értelmezve.
-Formálisan: f(x)=f(y) minden, az [[értelmezési tartomány]]ban levő x-re és
+Ha [[polinom]]ként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans [[fokszám (polinom)|foka]] 0, a konstans [[0 (szám)|nulla]] fokát pedig nem értelmezzük.
-y-ra.
-Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az [[üres halmaz]]on van
-értelmezve.
-Ha [[polinom]]ként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans [[fokszám (polinom)|foka]] 0, a
-konstans [[0 (szám)|nulla]] fokát pedig nem értelmezzük.
 == Tulajdonságok ==
@@ 16. sor: / 12. sor: @@
 * bármely függvénnyel komponáljuk <math>f</math>-et, mindig konstans függvényt kapunk.
-Ha f valós [[intervallum]]on értelmezett konstans függvény és valós
+Ha f valós [[intervallum]]on értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor [[differenciálhatóság|differenciálható]], és [[derivált]]ja az azonosan 0 függvény.
+Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. [[Grafikon]]ja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.
-értékű, akkor [[differenciálhatóság|differenciálható]], és [[derivált]]ja az azonosan 0 függvény.
-Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. [[Grafikon]]ja
-vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes
-vagy egyenes.
-A konstans függvények [[rendezési reláció|részbenrendezett halmazokon]] egyszerre
+A konstans függvények [[rendezési reláció|részbenrendezett halmazokon]] egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. [[háló (algebra)|Hálókon]] ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.
-rendezéstartók és rendezésfordítók. [[háló (algebra)|Hálókon]] ez az állítás
-megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai
-lennének.
-[[topologikus tér|Topologikus terek]] bármely konstans leképezése folytonos. [[összefüggő halmaz|Összefüggő
+[[topologikus tér|Topologikus terek]] bármely konstans leképezése folytonos. [[Összefüggő halmaz]]on minden lokálisan konstans függvény az egész [[halmaz]]on konstans.
-halmazon]] minden lokálisan konstans függvény az egész [[halmaz]]on
+Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor [[idempotencia|idempotens]].
-konstans.
-Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor
-[[idempotencia|idempotens]].
 == További összefüggések, általánosítás ==
@@ 46. sor: / 33. sor: @@
 == Források ==
 * Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
 * Thomas-féle kalkulus I., II., III.
 * Halász Gábor: Komplex függvénytan
-<!--Kellene egy általános iskolai tanköny, ami a függvényeket tárgyalja. A grafikon miatt. És egy topológiakönyv a topológia részhez.-->
+<!--Kellene egy általános iskolai tankönyv, ami a függvényeket tárgyalja. A grafikon miatt. És egy topológiakönyv a topológia részhez.-->
 * {{planetmath reference|id=4727|title=konstans függvény}}
 * [http://www.mathace.net/functions-algebra/constant konstans függvények] a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések