Konvex és konkáv függvény

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex halmaz, azaz ha egy tetszőleges szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.

Az Rⁿ egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R² $\rightarrow$ R esetben) konvex.

Hasonlóan, egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvény konkáv, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konkáv. Ekvivalensen, akkor konkáv egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe fölött halad. A konkáv tulajdonság is kiterjeszthető az Rⁿ egy konvex részén értelmezett függvényekre. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R² $\rightarrow$ R esetben) konkáv.

Köznapi nyelven a konvex-konkáv fogalmat így írják le: a konvexben nem lehet elbújni, a konkávban lehet.

Általános definíció

Az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az $I$-ből és t ∈ [0,1]-re:

$f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\leq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)$

f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az $I$-ből és t ∈ [0,1]-re:

$f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\geq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)$

Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.

A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.

Konvexitás és differenciálhatóság

Ha az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden $I$-beli $x$, $u$ számpár esetén

$f(x)\geq f(u)+f'(u)(x-u)$

illetve konkáv, ha minden $I$-beli $x$, $u$ számpár esetén:

$f(x)\leq f(u)+f'(u)(x-u)$

Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T_1,u^f ≧ 0 illetve f – T_1,u^f ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u ∈ $I$ pontnál).

Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fenáll a következő

Tétel – A konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).

f konvex $\Leftrightarrow$ ${\mbox{ }}_{f''\geq 0}$

f konkáv $\Leftrightarrow$ ${\mbox{ }}_{f''\leq 0}$

A függvény konkáv a [0;1,9] intervallumban

A függvény konvex a [-1,9;0] intervallumban

Tulajdonságok

• Konvex függvények lineáris kombinációja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
• Ha egy függvénysorozat véges kivétellel csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz.
• Konvex függvények felső burkolója konvex, konkáv függvények alsó burkolója konkáv.
• Teljesül a Jensen-egyenlőtlenség: ha f konvex, és a λ_i együtthatók egyike sem negatív, akkor

$f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f\left(x_{i}\right).$

Ha f konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.

• Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény folytonos azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex, vagy konkáv.
• Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény majdnem mindenütt differenciálható.
• Mindezek a tulajdonságok több dimenziós esetben is teljesülnek, ha nyílt intervallum helyett mindig tartományt, azaz összefüggő nyílt halmazt tekintünk.
• Végtelen dimenzióban nem lesz az összes konvex és konkáv függvény folytonos, mivel vannak lineáris operátorok, amik nem folytonosak. Ilyen például a differenciáloperátor.