„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a Robot: következő hozzáadása: ca:Teorema de Fermat (punts estacionaris) |
a kozmetikai javítások |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
A [[matematikai analízis]] '''Fermat tétele''' szükséges feltételt szab egy [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvény lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvény lokális maximumának vagy minimumának helyét, az értelmezési tartománya belső pontjában csak ott találhatjuk, ahol a függvény [[derivált]]ja nulla. |
A [[matematikai analízis]] '''Fermat tétele''' szükséges feltételt szab egy [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvény lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvény lokális maximumának vagy minimumának helyét, az értelmezési tartománya belső pontjában csak ott találhatjuk, ahol a függvény [[derivált]]ja nulla. |
||
==Motiváció== |
==Motiváció== |
||
11. sor: | 10. sor: | ||
Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' az értelmezési tartománya belső pontja. Ha ''u''-ban ''f''-nek lokális maximuma vagy lokális minimuma van, akkor ott deriváltja nulla: |
Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' az értelmezési tartománya belső pontja. Ha ''u''-ban ''f''-nek lokális maximuma vagy lokális minimuma van, akkor ott deriváltja nulla: |
||
:<math>f'(u)=0\,</math> |
:<math>f'(u)=0\,</math> |
||
==Bizonyítás== |
==Bizonyítás== |
||
===A derivált definíciójából=== |
===A derivált definíciójából=== |
||
Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül: |
Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül: |
||
29. sor: | 26. sor: | ||
tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt: |
tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt: |
||
:<math>f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math> |
:<math>f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math> |
||
f'(u) |
f'(u) ≥ 0 és f'(u) ≤ 0 miatt pedig: |
||
:<math>f'(u)=0\,</math>. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big> |
:<math>f'(u)=0\,</math>. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big> |
||
''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind baloldali, mind jobboldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!). |
''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind baloldali, mind jobboldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!). |
||
40. sor: | 35. sor: | ||
A határértékre vonatkozó átviteli elvet általában akkor célszerű használni, ha tudjuk, hogy egy adott határérték létezik, csak meg kell állapítanunk az értékét. A mostani pont ez a szituáció. |
A határértékre vonatkozó átviteli elvet általában akkor célszerű használni, ha tudjuk, hogy egy adott határérték létezik, csak meg kell állapítanunk az értékét. A mostani pont ez a szituáció. |
||
Legyen B(u, |
Legyen B(u,δ) olyan környezete u-nak, mely teljes egészében az értelmezési tartományban van és melyre leszűkítve f-et u-ban minimuma van. Legyen |
||
:<math>x_n:=(-1)^n\frac{\delta}{n}</math> |
:<math>x_n:=(-1)^n\frac{\delta}{n}</math> |
||
Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk: |
Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk: |
||
60. sor: | 55. sor: | ||
Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”. |
Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”. |
||
Ha f valós értékű, az U |
Ha f valós értékű, az U ⊆ '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmazon értelmezett [[teljes differenciál|differenciálható]] függvény, és az ''U'' halmaz egy ''u'' pontjában minimuma vagy maximuma van, akkor df(u)=0 illetve a [[parciális derivált]]akra: |
||
:<math>\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0</math> és <math>\frac{\partial f(u)}{\partial y}=0</math> |
:<math>\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0</math> és <math>\frac{\partial f(u)}{\partial y}=0</math> |
||
(mindez a szükséges változtatásokkal '''R'''<sup>m</sup>-ben is igaz). |
(mindez a szükséges változtatásokkal '''R'''<sup>m</sup>-ben is igaz). |
A lap 2008. július 20., 23:55-kori változata
- Ez a szócikk Piere Fermat egy, a deriváltra vonatkozó állításáról szól. Fermat számelméleti tételeit lásd itt: Fermat-tétel.
A matematikai analízis Fermat tétele szükséges feltételt szab egy differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvény lokális maximumának vagy minimumának helyét, az értelmezési tartománya belső pontjában csak ott találhatjuk, ahol a függvény deriváltja nulla.
Motiváció
A tétel rendkívül szemléletes, hiszen azt mondja, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén maximum illetve minimum csak ott lehet, ahol a függvény grafikonjához rajzolt érintő „vízszintes”. Személetünk alapját a polinomfüggvények és az analitikus függvények alkotják, melyek a történetileg kialakult függvényfogalmak legkorábbi típusai. Polinomfüggvény esetén, ha u-ban lokális minimum van, akkor van u-t megelőzően egy olyan intervallum, melyben f szigorúan monoton csökken, illetve ott a derivált negatív és u-t követően egy olyan intervallum, ahol f szigorúan monoton nő, illetve ahol a derivált pozitív. Mivel ekkor a deriváltfüggvény is folytonos, ezért Bolzano tétele miatt u-ban f ' -nak fel kell vennie a nulla értéket, nullának kell lennie. Valójában egy intervallumon értelmezett deriváltfüggvény mindig teljesíti a Darboux-tulajdonságot, azaz definíció szerint igaz rá a Bolzano-tétel állítása, így ha olyan a függvény, hogy u előtt a derivált negatív, u-t követően pedig pozitív, akkor ebből f '(u) = 0 kell hogy következzen. Nem kell azonban feltennünk még azt sem, hogy legyen u előtt és után olyan intervallum, ahol a derivált negatív illetve pozitív, ami szerencse is, hiszen vannak a modern függvényfogalomnak olyan esetei, amikor ez nem teljesül. A Fermat-tétel az előbb említetteknél jóval gyengébb, pusztán lokális megszorításokat tartalmazó feltételek mellett is igaz. A bizonyításban ekkor szerephez jutnak olyan elemek, melyek a függvény, a függvényhatárérték és a differenciálhatóság definíciójának kontraintuitív tartalmait képviselik, így lesz igaz a nem intuitív esetekben is az intuitív tétel.
A tétel
Legyen f valós-valós függvény, u az értelmezési tartománya belső pontja. Ha u-ban f-nek lokális maximuma vagy lokális minimuma van, akkor ott deriváltja nulla:
Bizonyítás
A derivált definíciójából
Tegyük fel, hogy u-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt -f -re). Legyen V olyan nyílt környezete u-nak, ahol f értékei nem kisebbek mint f(u) (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:
így
tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:
ahol az egyenlőség az u-beli differenciálhatóság miatt igaz.
Hasonlóképpen, ha x olyan V-beli, hogy x < u, akkor
- ,
tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:
f'(u) ≥ 0 és f'(u) ≤ 0 miatt pedig:
- . ■
Megjegyzés. A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha u nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind baloldali, mind jobboldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint u-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).
Átviteli elvvel
A határértékre vonatkozó átviteli elvet általában akkor célszerű használni, ha tudjuk, hogy egy adott határérték létezik, csak meg kell állapítanunk az értékét. A mostani pont ez a szituáció.
Legyen B(u,δ) olyan környezete u-nak, mely teljes egészében az értelmezési tartományban van és melyre leszűkítve f-et u-ban minimuma van. Legyen
Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:
ahonnan f '(u) = 0 következik. ■
A nemsztenderd analízis eszközeivel
A differenciálhatóságból következik, hogy létezik olyan c sztenderd valós szám, hogy tetszőleges h végtelenül kicsiny nemsztenderd számra:
Tegyük fel, hogy u-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt -f -re). Ebből következik, hogy tetszőleges h pozitív végtelenül kicsiny számra:
így
, amiből – tekintve, hogy c sztenderd szám – a kívánt f '(u) = c = 0 egyenlőség következik. ■
Többdimenziós általánosítás
Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”.
Ha f valós értékű, az U ⊆ R2 nyílt halmazon értelmezett differenciálható függvény, és az U halmaz egy u pontjában minimuma vagy maximuma van, akkor df(u)=0 illetve a parciális deriváltakra:
- és
(mindez a szükséges változtatásokkal Rm-ben is igaz).
Bizonyítás. A tétel az egyváltozós tétel következménye, hiszen ha feltesszük a totális differenciálhatóságot, akkor a parciális deriváltak is léteznek és a differenciál leképezés nem lesz más mint az a lineáris leképezés, amit a parciális deriváltakból álló sormátrix (f Jacobi-mátrixa) meghatároz. Ha tehát szélsőértéke van u=(u1,u2)-ben f-nek, akkor az f( . ,u2) parciális függvénynek is szélsőértéke van u1-ben és az f(u1, . ) parciális függvényeknek is szélsőértéke van u2-ben, tehát deriváltjaik az adott pontban nullák.