Skalárpotenciál (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Homogén gömb gravitációs potenciálja

A skalárpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Azt a skalármezőt határozza meg, aminek az adott vektormező a gradiense:

itt a vektormező, és a potenciál. Hac konzervatív erőtér, ahol a legkisebb kényszer elve szerint mindig a potenciál legnagyobb meredeksége felé mutat, akkor

A fizikában a skalárpotenciálokat a konzervatív erőterek vizsgálatához használják. Ilyen terek például az elektromos vagy a gravitációs mezők, de az örvénymentes áramlások is.

Fogalma[szerkesztés]

A potenciál fogalmának használata történeti okok miatt nem egységes.

Matematikai és fizikai potenciál[szerkesztés]

Habár belőle származik, nem keverendő össze a matematikai potenciál fogalma a fizikaival. Minden fizikai potenciál leírható matematikai eszközökkel, de nem minden matematikailag megadható potenciálnak van fizikai jelentése.

A fizikában a potenciál első közelítésben egy konzervatív erő munkavégző képességét jelenti. Ez már egybevág a matematikai potenciálfüggvénnyel, ami ezt a képességeit függvényértékekben jeleníti meg. Jelentheti a potenciál a függvény egyes értékeit is, mint a gravitációs és az elektromos potenciál, voltban vagy J/kg-ban mérve.

Szokás még a helyzeti energiát is potenciális energiának nevezni. Ez sem véletlenül emlékeztet a matematikai fogalomra, mivelhogy konzervatív erőtérben egy test helyzeti energiája is leírható skalárpotenciállal,[1] nem beszélve a hidrodinamikai sebességpotenciálról, ami szintén skalárpotenciállal ábrázolható.

Potenciálvektorok és potenciálmezők[szerkesztés]

További zavart okoz az, hogy a potenciál szó sok szóösszetételben szerepel. Nem világos, hogy melyik összetétel kapcsolódik a skalárpotenciálhoz, és melyik a vektorpotenciálhoz. Egy ilyen zavarba ejtő szó a potenciálmező. Aki nem ismeri közelebbről a témát, az azt hiheti, hogy ez a potenciál skalármezője, de a legtöbb szerző ezt nem így használja, hanem a potenciál gradienseként kapott vektormezőt érti rajta.[2][3]

Egyes szerzők a deriváltként kapott vektormezőt gradiensmezőnek nevezik, mivel a gradiensoperátor alkalmazásával kapták,[4] míg mások potenciálvektornak, arra emlékeztetve, hogy ennek a mezőnek van potenciálja.[5]

Definíció és tulajdonságok[szerkesztés]

Egy skalármező akkor és csak akkor áll elő skalárpotenciálként, ha egy egyszeresen összefüggő tartományon

  1. kétszer folytonosan differenciálható
  2. van egy vektormező, amire:

-nek, mint gradiensnek a következő tulajdonságai vannak:[5]:

  1. A görbe menti integrál útfüggetlensége, vagyis az integrál csak a végpontoktól függ, a köztük bejárt úttól nem.
  2. A zárt görbék menti integrálok eltűnnek:
  1. A mező örvénymentes, vagyis rotációja azonosan nulla:

Belátható, hogy a fenti három jellemző ekvivalens egymással.

Kapcsolat a harmonikus függvényekkel[szerkesztés]

Egy kétszer folytonosan differenciálható skalármező harmonikus, ha tiszta második parciális deriváltjainak összege azonosan nulla. A Laplace-operátorral

&nbsp

megoldásait potenciálfüggvénynek vagy potenciálnak nevezik.

megoldásai a harmonikus függvények.[6] Egyes szerzők azonban csak a harmonikus függvényeket hívják potenciálnak.[7] A potenciálelméletet is ezekre a függvényekre szűkítik le.[7]

Példák[szerkesztés]

A Newton-potenciál az egyik legismertebb skalárpotenciál:

ami csak három dimenzióban harmonikus függvény, azaz ha . Két dimenzióban logaritmikus potenciál:[8]

Az ln(1/r) = -ln(r) csak két dimenzióban harmonikus, azaz ha . Három dimenzióban közönséges potenciál:

ΔΦ = 1/r² és ΔΦ = −1/r².

Ugyanígy, csak két dimenzióban harmonikusak a és a függvények.

Poisson- és Laplace-mezők[szerkesztés]

Egy skalármező gradienseként adódó vektormező örvénymentes, ezért forrásmezőnek is nevezik őket.[9] Ez nem jelenti azt, hogy nem lehetnek örvénymentesek is.

A Poisson- és a Laplace-egyenletek megoldásaiból kapott gradiensmezők így osztályozhatók:

  • A Poisson-egyenletből kapott függvények, amelyekre még is teljesül, Ezek a Poisson- vagy Newton-mezők.[9] Azaz, ha egy skalárpotenciálja a megfelelő inhomogén parciális differenciálegyenlet partikuláris megoldása, akkor a derivált vektormezőket Poisson- vagy Newton-mezőknek nevezik. Nevezetes példák a gravitációs mező, vagy egy töltés körül kialakult elektromos mező, ha nincs a közelben egy másik töltés. Ekkor az erővonalak a végtelenbe tartanak.
  • A Laplace-egyenletből kapott függvények forrásmentes Laplace-mezők, amelyekre a Poisson-egyenlet mellett még is teljesül.[6] Azaz, ha egy mező skalárpotenciálja a megfelelő peremfeltételekkel a homogén Laplace-egyenlet megoldása, akkor a potenciál deriváltjaként adódó gradiensmező Laplace-mező. Példa erre két ellentétes előjelű töltés elektromos tere. Ekkor az erővonalak végesen a másik töltésbe futnak be.

A két mező szuperpozíciójaként adódó mezőkre totális potenciálfüggvény adható meg, ami a fenti partikuláris és homogén megoldások összegeként írható fel.[9]

Kapcsolat a vektorpotenciállal[szerkesztés]

A más vektormezők rotációjaként adódó örvénymezők forrásmentesek, és megfordítva, a forrásmentes vektormezőknek van vektorpotenciáljuk, aminek rotációi.[6]

A vektoranalízis alaptétele, más néven Helmholtz-tétel szerint majdnem minden vektortér előáll és szuperpozíciójaként, ahol az első komponens egy skalárpotenciál gradiense, a második azonban egy vektorpotenciál rotációja:

Hogyha konzervatív erőtér, amiben az erő a legkisebb kényszer elve szerint a potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az előbbi egyenlet így is írható:

Története[szerkesztés]

A matematikai potenciálfogalmat a francia Joseph-Louis Lagrange vezette be, aki a gravitációs erő

Newton-féle képlete alapján megállapította, hogy az F erő három Fx, Fy és Fz erő összegére bontható, amelyek értelmezhetők egy közös, skalár értékű „primitív függvény”, U(x0;y0;z0) parciális deriváltjaiként.[1]:

Amint látható, az U(x0;y0;z0) primitív függvény a tér minden (x1|y1|z1)-on kívüli pontjában értelmezve van, és m0 (negatív előjelű) helyzeti energiája m1 előterében:

Megfigyeléseit nem sokkal később potenciál néven foglalták össze. Kutatását az angol George Green matematikus és fizikus folytatta, akinek 1828-ban megjelent Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism című művében foglalkozott a potenciálfüggvénnyel. Végül Carl Friedrich Gauss 1840-ben[1] (más források szerint 1836-ban[10]) tovább mélyítette és népszerűsítette a potenciál fogalmát.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. a b c [W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 741-742.
  2. §4 Potentialfelder. In: Mathematik für Ingenieure III. WS 2009/2010, Universität Kiel.
  3. Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Springer, Berlin/Heidelberg, S. 322.
  4. Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 579.
  5. a b [W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 547-548.
  6. a b c Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung, Band 3; Vieweg + Teubner, 2008, S. 85-92.
  7. a b [W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 743-746.
  8. [W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 746.
  9. a b c Adolf J. Schwab; Begriffswelt der Feldtheorie; Springer, 2002, S. 18-20.
  10. Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I; Leipzig 1954, S. 160.