M/G/1-típusú sorbanállás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A sorbanállás-elméletben az M/G/1-típusú sorbanállás olyan sorbanállási modell, ahol a beérkező entitások véletlenszerűek (M), a Poisson-folyamat szerint, a szolgáltatási idő (G) általános eloszlású, és egy kiszolgáló van.[1] A jelölés a Kendall-féle jelölést követi, és ennek a kiterjesztése a M/M/1-típusú sorbanállás, ahol a szolgáltatási idő exponenciális eloszlású. Az M/G/1-típusú sorbanállás modellezi a rögzített fejű merevlemez működését.[2]

A modell működése[szerkesztés]

A sorbanállás sztochasztikus folyamat, melynek állapottere {0,1,2,3...}, ahol a sorbanállók száma megfelel a számoknak. Az i - i+1 átmenet jelzi, hogy új sorbanálló tag érkezett. Az ilyen érkezések közötti időnek exponenciális eloszlása van, λ paraméterrel. Az i - i-1 átmenet jelzi, hogy egy tagot kiszolgáltak a sorból, és távozott. A kiszolgáláshoz szükséges idő általános eloszlási függvény szerint történik. Az érkezés és kiszolgálás közötti idő hossza valószínűségi változó, és feltételezhetően független más paraméterektől.

Sorbanállás hossza[szerkesztés]

Az állandósult sor hossz-eloszlásának generátor függvényét a Pollaczek–Khinchine transzformáció adja meg:[2]

ahol and a kiszolgálási idő eloszlásának Laplace–Stieltjes transzformációja. A Pollaczek–Khinchine formula megadja a rendszer átlagos sorbanállási hosszát és az átlagos várakozási időt.[3][4] Mivel az érkezéseket a Poisson-folyamat határozza meg, az érkezési elmélet érvényes.

M/G/1 típusú Markov-lánc[szerkesztés]

Tekintsük az M/G/1 sorbanállás beágyazott Markov-láncát, ahol az érkezés után azonnali időpontokat nézzük. Az ügyfélt zéró másodperc alatt kiszolgálják. A távozások között, 0, 1, 2, 3,…érkezés lehetséges. Így a lánc i–ből i-1, i, i+1, i+2…be mozoghat, ….[5] A beágyazott Markov-lánc átmeneti mátrixa:

ahol:

és F(u) a kiszolgálási idő eloszlása, λ a Poisson-féle érkezési ráta a sorba. A Markov-láncot a generátor mátrixxal, vagy mátrix blokkal, az M/G/1-típusú Markov-láncnak hívják, mely kifejezést M. F. Neuts-től származik.[6][7][8] Egy stacionárius M/G/1-típusú Markov-lánc a Ramaswami-formulaval számítható.[8]

Több kiszolgáló esete[szerkesztés]

Egy M/G/k-típusú sorbanállás, ahol k>1 számú kiszolgáló van, még nyitott probléma.[9] Ebben a modellben, az érkezések Poisson-folyamat szerint történnek, és bármely kiszolgáló elláthatja a bejövőt. Különböző szerzők számos közelítést alkottak a sorbanállás átlagos nagyságára, az átlagos késleltetési időre és az állandó eloszlásra.[10]

Irodalom[szerkesztés]

  • Ross, Sheldon M.; Seshadri, Sridhar: Hitting time in an M/G/1 queue. (hely nélkül): Journal of Applied Probability:. 1999.  
  • Stewart, William J: Probability, Markov chains, queues, and simulation. (hely nélkül): Princeton University Press. 2009. ISBN 0691140626  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Gittins, John C. (1989). Multi-armed Bandit Allocation Indices. John Wiley & Sons. p. 77. ISBN 0471920592
  2. ^ a b Harrison, Peter; Patel, Naresh M. (1992). Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison–Wesley.
  3. doi:10.1007/BF01194620
  4. Khintchine, A. Y (1932.). „Mathematical theory of a stationary queue”. Matematicheskii Sbornik 39, 73–84. o. (Hozzáférés ideje: 2011. július 14.)  
  5. Stewart, William J.. Probability, Markov chains, queues, and simulation. Princeton University Press, 510. o (2009). ISBN 0-691-14062-6 
  6. Neuts, M. F . (1989.). „Structured Stochastic Matrices of M/G/1 Type and Their Applications”, New York, Kiadó: Marcel Dekk..  
  7. doi:10.1080/15326349808807483
  8. ^ a b doi:10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001
  9. doi:10.1007/s11134-009-9147-4
  10. doi:10.1007/s11134-008-9073-x