Pollaczek–Khinchine-formula

A sorbanállás-elméletben a Pollaczek–Khinchine-formula kifejezi az átlagos sorbanállási hosszúságot, ahol a feladatok a Poisson-folyamat szerint érkeznek, és a szolgáltatás ideje általános eloszlást mutat az M/G/1-típusú sorbanállás szerint. A képlettel kiszámítható az átlagos várakozási idő is. A képletet először Pollaczek Félix publikálta 1930-ban,^[1] és két évvel később Alekszandr Hincsin átdolgozta.^[2]^[3]

Az átlagos sorbanállási hossz[szerkesztés]

Az átlagos sorbanállási hossz^[4]

L=\rho +{\frac {\rho ^{2}+\lambda ^{2}\operatorname {Var} (S)}{2(1-\rho )}}

ahol

$\lambda$ A Poisson-folyamat beérkezési rátája
$1/\mu$ az S időeloszlás várható értéke
$\rho =\lambda /\mu$ a kihasználás
Var(S) az S szolgáltatási idő eloszlásának szórásnégyzete

Ahhoz, hogy az átlagos sorbanállási hossz véges legyen, szükséges, hogy $\rho <1$ legyen, máskülönben a feladatok gyorsabban érkeznének, mint ahogy elhagyják a sort. A ‘forgalom intenzitás’ 0 és 1 között van, és ez egy átlagos része annak az időnek, amikor a kiszolgáló foglalt. Ha a beérkezési ráta $\lambda _{a}$ nagyobb vagy egyenlő a $\lambda _{s}$ szolgálati rátával, akkor a sorbanállási késleltetés (várakozás) végtelen lesz.

Átlagos várakozási idő[szerkesztés]

Ha vesszük W-t, annak az átlagos időnek, amíg az ügyfél várakozik a sorban, akkor $W=W'+\mu ^{-1}$ , ahol $W'$ az átlagos várakozási idő, és $\mu$ a szolgáltatás ideje. Felhasználva a Little-törvényt, mely szerint:

L=\lambda W

ahol

L az átlagos sor hossz
$\lambda$ A Poisson-folyamat beérkezési rátája
W az átlagos idő (várakozás és kiszolgálás),

így:

W={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}+\mu ^{-1}.

Végül írható egy kifejezés az átlagos várakozási időre:^[5]

W'={\frac {L}{\lambda }}-\mu ^{-1}={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}.

Irodalom[szerkesztés]

Pollaczek, F: Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie. (hely nélkül): Mathematische Zeitschrift 32:. 1930. 64–100. o.
Khintchine, A. Y: Mathematical theory of a stationary queue. (hely nélkül): Matematicheskii Sbornik 39 (4):. 1932. 73–84. o.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

↑ Pollaczek, F. (1930). „Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie”. Mathematische Zeitschrift 32, 64–100. o. DOI:10.1007/BF01194620.
↑ Takács, Lajos (1971). „Review: J. W. Cohen, The Single Server Queue”. Annals of Mathematical Statistics 42 (6), 2162–2164. o. DOI:10.1214/aoms/1177693087.
↑ doi:10.1007/s11134-009-9147-4
↑ Haigh, John. Probability Models. Springer, 192. o. (2002). ISBN 1-85233-431-2
↑ Harrison, Peter G.. Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison-Wesley, 228. o. (1992). ISBN 0-201-54419-9

[1] Pollaczek, F. (1930). „Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie”. Mathematische Zeitschrift 32, 64–100. o. DOI:10.1007/BF01194620.

[2] Takács, Lajos (1971). „Review: J. W. Cohen, The Single Server Queue”. Annals of Mathematical Statistics 42 (6), 2162–2164. o. DOI:10.1214/aoms/1177693087.

[3] :10.1007/s11134-009-9147-4

[4] Haigh, John. Probability Models. Springer, 192. o. (2002). ISBN 1-85233-431-2

[5] Harrison, Peter G.. Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison-Wesley, 228. o. (1992). ISBN 0-201-54419-9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]