Kronecker delta függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Kronecker delta (másként Kronecker-szimbólum) matematikai kétváltozós, általában egész számok függvénye, s amelynek értéke 1, ha a két szám egyenlő, minden más esetben 0. Így például , de . Jelölése δij, és inkább jelölési rövidítésnek, mint függvénynek tekintik. A függvényt Leopold Kronecker (18231891) német matematikusról nevezték el.

Más jelölések[szerkesztés]

Az Iverson-féle zárójeles jelölés használatával:

Gyakran a jelölést használják:

A lineáris algebrában tenzornak tekintik és így írják: .

Digitális jelfeldolgozás[szerkesztés]

Ugyanez a gondolat a digitális jelfeldolgozásban is megjelenik, és egy egész számokon értelmezett függvényként reprezentálják:

Ezt a függvényt impulzusfüggvénynek vagy egységimpulzusnak nevezik. Ha a jelfeldolgozás egy elemét éri, akkor az outputot az adott elem impulzusválaszának hívják.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • :
  • Ha az egészeket mértéktérnek tekintjük, és ellátjuk a számlálómértékkel, ekkor ez a tulajdonság megegyezik a Dirac-deltát definiáló tulajdonsággal:

A Dirac-deltát a Kronecker-delta analógiájára nevezték el. A jelfeldolgozásban aszerint tesznek köztük különbséget, hogy az idő folytonos-e, vagy diszkrét. Megállapodás szerint folytonos időt jelöl (Dirac), és az olyan argumentumok, mint i, j, k, l, m, és n a diszkrét idő számára vannak fenntartva (Kronecker). Egy másik elterjedt gyakorlat szerint a diszkrét sorozatokat szögletes zárójellel jelölik, így:  .

A Kronecker-delta a matematika több területén is felbukkan.

Lineáris algebra[szerkesztés]

A lineáris algebrában az identitásmátrix felírható alakjában.

Ha a Kronecker-deltát tenzornak tekintjük, akkor így írható fel:

ahol i kovariáns, és j kontravariáns index.

Ez az (1,1) tenzor reprezentálja:

  • az identitást, mint lineáris leképezést
  • a nyomot
  • a skaláris szorzatot
  • a leképezést, ami a skaláris szorzatot a külső szorzatok összegeként reprezentálja.

A Kronecker-delta kiterjesztései[szerkesztés]

Több dimenzióban hasonlóan definiálhatunk egy többváltozós függvényt:

Ez a függvény akkor és csak akkor veszi fel az 1 értéket, ha a felső indexek megegyeznek az alsókkal, különben nulla.

Reprezentáció integrálokkal[szerkesztés]

A komplex függvénytanból ismert reziduumok felhasználásával a Kronecker-delta minden -re reprezentálható ezzel az integrállal:

ahol az integrálási út pozitív forgásirányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) megkerüli a nullát.

Ez egy elforgatással a következő formában is írható:

Források[szerkesztés]

Külső hivatkozások[szerkesztés]