Koszinusztétel
A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:
vagy másként:
Bizonyítások
- A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.
Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:
felhasználva a trigonometriai azonosságot.
Megjegyzés: Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy helyett szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.
- Belátható vektorok segítségével is:
Az háromszög adott. -ből indítsuk a helyvektorokat. -ba mutató vektor legyen . -be mutató vektor legyen . Az és vektorok hajlásszöge legyen .
Ekkor ⇒ ⇔ . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED
Alkalmazások
A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).
Források
- Weisstein, Eric W.: Koszinusztétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld