Kepler-törvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Kepler-törvények néven nevezzük a bolygómozgások három törvényét, melyeket Johannes Kepler német csillagász állapított meg.

Kepler törvényei és általánosításaik[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

I. törvény
II. törvény

Kepler törvényei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

I.[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bolygók pályája ellipszis, és annak egyik gyújtópontjában van a Nap.

r=\frac{l}{1+e\cdot\cos\varphi},

ahol (r,φ) a bolygók napközpontú polárkoordinátái, l a fókuszon átmenő, a nagytengelyre merőleges húr fele (semi-lactus rectum), e pedig az excentricitás.

II.[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bolygók vezérsugara (a bolygót a Nappal összekötő szakasz) azonos idő alatt azonos területet súrol.

\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}r^2 \dot\varphi) = const, ahol \frac{1}{2}r^2 \dot\varphi az adott (nagyon kicsi) szögelfordulás alatt súrolt terület, ennek az idő szerinti első differenciálhányadosa a területi sebesség, ami konstans.

III.[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bolygók Naptól való átlagos távolságainak (a, a pálya fél nagytengelyeinek) köbei úgy aránylanak egymáshoz, mint a keringési idejük (T) négyzetei, azaz a

 \frac{a^3}{T^2} hányados minden naprendszerbeli bolygó esetén ugyanakkora.
Például a Jupiter keringési idejének (11,8 földi év) négyzete majdnem 140. A Jupiter majdnem 5,2-szer van távolabb a Naptól, mint a Föld; ennek köbe (5,2-ször 5,2-ször 5,2) szintén majdnem 140.

Kepler III. törvényének pontos alakja:

 \frac{a^3}{T^2} = \frac{\mu}{4\pi^2},
\mathbf\mu = k^2(m_1+m_2), ahol k a Gauss-féle gravitációs állandó, m1 és m2 pedig a testek tömege.

Mivel \mu értéke k-nak, a Gauss-féle gravitációs állandónak a négyzete miatt nagyon kicsi, ezért az egyenlet jobb oldala minden bolygóra nézve jó közelítéssel állandó.

A Gauss-féle gravitációs állandó:
k = \frac{2\pi}{T\sqrt{1+m}},

ahol m a Föld - Hold rendszer össztömege, T pedig a Föld - Hold rendszer tömegközéppontjának a Nap körüli keringési ideje.

A Kepler-törvények általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti törvények általánosíthatóak: igazak egy csillag körül keringő bolygóra, egy bolygó körül keringő holdakra és műholdakra, bármely nagy tömegű égitest körül keringő más égitestekre, csupán az a^3 / T^2 értéke más, a központi égitest tömegétől függ. Egy másik általánosítás a tetszőleges kúpszelet alakú pályákhoz vezet; például egyes üstökösök pályája parabola alakú. A Kepler-törvények közel egyforma tömegű testekre is általánosíthatóak, de ekkor a III. törvény közelítő jelleget ölt. Kepler törvényeinek fizikai magyarázatát a kéttestprobléma szolgáltatja.

A Kepler-törvények története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az első két törvényt Kepler az 1609-ben megjelenő Astronomia Nova (Új csillagászat) című művében közölte. A harmadik törvényt a Mars adatainak kitartó tanulmányozásával 1618. május 15-én találta meg, ezt a törvényt az 1619-ben írt Harmonices Mundi ("A világ harmóniája") című művében közölte.

Kepler ezeket a törvényeket nem egy elméletből vezette le, hanem Tycho Brahe pontos megfigyeléseiből kiindulva találta meg. Isaac Newtonnak sikerült ezeket egy általánosabb elméletbe beleágyaznia, de meg kell jegyeznünk, hogy a híres 1/ {r^2} -es gravitációs erőtörvényt ő a Kepler-törvények alapján vezette le.

Kepler II. törvényének igazolása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kepler II. törvénye könnyen igazolható, ha bizonyítást nyer, hogy centrális erőtérben végzett mozgás esetén (tehát ha az erő egy rögzített pont felé irányul a mozgás során) az
s = \frac{1}{2}(\mathbf{r}\times\mathbf\dot{r}) összefüggésben a területi sebességvektor állandó.
A koordináta-rendszer kezdőpontja az erőcentrumban van.
Newton II. törvénye szerint az erő:  \mathbf{F} = m\mathbf{a},

amely felírható

\mathbf{F} = m\mathbf \ddot{r} alakban is, mert \mathbf{a} = \mathbf \dot{v} = \mathbf\ddot{r}.
A két alakból látható, hogy  \mathbf{r} és \mathbf \ddot{r} vektorok párhuzamosak, ezért a vektoriális szorzatuk zérus:
\mathbf{r}\times\mathbf\ddot{r} = \mathbf{0}.
S deriváltja:
\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}(\mathbf\dot{r}\times\mathbf\dot{r}) + \frac{1}{2}(\mathbf{r}\times\mathbf\ddot{r}) = 0,
mert az első tag két vektora azonos, a vektoriális szorzat meghatározása miatt zérus, a második tagról pedig fentebb nyert bizonyítást, hogy szintén zérus. Mivel s deriváltja zérus, ezért s állandó, következésképpen a területi sebességvektor is állandó, a mozgás pedig síkmozgás.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]