Kepler-probléma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Kepler-probléma, amelyet Johannes Kepler az Astronomia Nova címmel kiadott művében vetett fel, a Nap körül keringő bolygók mozgását leíró egyenlet megadása. A megoldásnak az elméleti alkalmazások (asztrofizika, atomfizika) mellett az időszámításban, a navigációban is fontos szerepe van.

Lásd még: időegyenlet.

A probléma felvetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kepler-problema.gif

A Kepler-törvények a kopernikuszi állításon kívül, miszerint a bolygórendszer középpontja nem a Föld, hanem a Nap, azt is kimondják, hogy

  1. a bolygók – így a Föld is – Nap fókuszpontú ellipszis pályán mozognak,
  2. a mozgás során a bolygótól a Naphoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol, tehát a bolygó nem egyenletes mozgást végez.

A feladat ezen mozgás hely-idő összefüggésének megadása.

Kepler a problémára a következő megoldást találta. Tekintsünk egy olyan körpályát, melynek középpontja a földpálya középpontja, sugara pedig a földpálya fél nagytengelye. Ezen a pályan mozogjon egy test egyenletes sebességgel (lásd az animációt). A valódi Föld NF vezérsugarának meghosszabbításával érzékelhetővé válik a két objektum mozgásának eltérése. A Föld a napközeltől indulva siet, majd lassulva ismét „találkozik” az egyenletes mozgású égitestel. A naptávolt elhagyva a viszonyok megfordulnak: a Föld kezdetben lemarad, majd felgyorsulva utoléri az „etalont”.

A részletes ábrán a P pont a pályának az a pontja, ahol a bolygó a központi égitesthez legközelebb van: perihélium. A bolygó pillanatnyi helyzetét egyértelműen megadja az az ω szög, melyet az NF vezérsugár az NP tengellyel bezár, ezt valódi anomáliának nevezzük.

A cél az ω = ω(t) összefüggés meghatározása.

Anomalia.gif

A megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelöljük meg azt az E pontot, mely a kör-ellipszis affinitásában a bolygó megfelelője. Az affinitás aránya b/a. Ebből a megfelelő szakaszokra a.FE' = b.

Az OE'E háromszög η szöge az ú.n. excentrikus anomália. Ezzel a szöggel és az ellipszis adataival az ω szög tangense kifejezhető:

\mathrm{tg}(\omega)=\frac{b\cdot\sin\eta}{a\cdot\cos\eta - c}.

A megoldáshoz szükséges másik összefüggést a II. Kepler törvény alapján kapjuk. Az NPF ellipszisszelet területe ugyanis:

\Phi= \frac{ab}{2}(\eta-\frac{c}{a}\sin\eta).

A vezérsugár által súrolt terület a t idővel arányos (ez maga Kelper II. törvénye), ezért:

\eta- e\sin\eta = 2\pi t\,,

ahol t a perihélium-átmenet óta eltelt idő években, e pedig az ellipszis numerikus excentricitása: e = c/a. Az egyenlet jobb oldalán álló kifejezés az ábrán μ-vel jelölt közepes anomália, a körpályán egyenletesen keringőnek képzelt 'közép' Föld vezérsugarának irányszöge.

Az ω = ω(t) egyenletet e két egyenletből az η kiküszöbölésével kaphatnánk meg, azonban ez algebrai eszközökkel nem, csupán közelítő módszerekkel érhető el. A csillagászati számításoknál a Lagrange-féle közelítő sort használják:

\omega = 2\pi t + 2e\cdot\sin(2\pi t) + 1,25e^2\cdot\sin(4\pi t)+\dots

Ugyanez a közepes anomáliával kifejezve:

\omega = \mu + 2e\cdot\sin(\mu) + 1,25e^2\cdot\sin(2\mu)+\dots

A földpálya esetén ez a másodfokú közelítés elegendő, mivel az excentrumosság e ≈ 0,01674, ezért már a végtelen sor harmadfokú tagja 1"-nél kisebb eltérés okozna. Azoknál a bolygóknál, holdaknál, amelyeknek a pályája lapultabb, a további tagokat is figyelembe kell venni. (például a Mars-pálya excentricitása 0,0933 , ezért a sor két további tagjával is számolni kell.)

A newtoni megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Kepler-problémára később Newton adott megoldást az általános tömegvonzás törvényének felismerésével. A Napot választva a mozgást leíró koordináta-rendszer origójának és a NP vektort a rendszer tengelyének, a mozgásegyenletek mind derékszögű, mind polárkoordinátákban felírhatók. Ezekből mind maguk a Kepler-törvények, mind pedig a koordináták és a mozgásidő kapcsolatai levezethetők. A számítási nehézség azonban ekkor sem kerülhető el, mivel az alaptörvényből csak az ω = ω(t) függvény inverze vezethető le:

t = t(\omega) = \frac{1}{h}\int\limits_0^\omega(\frac{dr}{dt})^2d\omega ,

aminek megoldása zárt alakban nem adható meg. A képletben szereplő h konstans a T keringési időből és a pálya adataiból (a,b) számítható:

h = \frac{2\pi ab}{T} .

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Budó Ágoston, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1951
  • Érdi Bálint, Égi mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996
  • Dörrie, Heinrich, A diadalmas matematika, Gondolat Kiadó, Budapest, 1965.
  • Kulin György et al, A távcső világa, Gondolat Kiadó, Budapest, 1980.