Időegyenlet

Az időegyenlet vagy időkiegyenlítés az óra által mutatott középidő és egy napóra által mutatott valódi idő különbsége. A pontos érték ismerete fontos a geodéziai és navigációs helymeghatározásban a földrajzi hosszúság kiszámításakor.

A szó jelentése

Az antik csillagászok szóhasználatában a latin equatio (egyenlet) illetve a görög analemma javítást, kiigazítást, korrekciót jelentett, azt az értéket, amelyet a valamilyen módon kiszámított vagy mért mennyiséghez hozzá kell adni, hogy a helyes értéket megkapjuk.

Története

Geminus (i. sz. 50 körül) említi, majd egy évszázad múlva Ptolemaiosz (i. sz. 150 körül) híres művében, az Almagesztben az okát is megmagyarázva közli a korának megfelelő pontosságú értékeket. Igazi jelentőségét a Kepler-probléma megoldásával és a csillagászati, majd a hajózási műszerek pontosságának kifejlesztésével nyerte el. Ekkor vált lehetségessé a világidő mérése és ezzel a pontos földrajzi helymeghatározás.

Az okok

Az ábra mutatja, hogyan adja ki a két fő komponens az időkiegyenlítést (piros vonal)

Az idő kiegyenlítésére azért van szükség, mert a Nap helyzete alapján mért helyi idő (napóra, szextáns) nem egyezik az időmérés alapját képező, egyenletesen telő középidővel (karóra, falióra, kvarcóra, atomóra stb.). Az eltérésnek két fő oka, hogy

1. a földpálya ellipszis és a keringési sebesség nem egyenletes,
2. a földpálya (ekliptika) és az egyenlítő síkja nem esik egybe (tengelyferdeség).

Kisebb anomáliát (eltérést) okoz a tavaszpont és a perihélium vándorlása, valamint a Föld forgási tengelyének és forgási sebességének időszakos változása. Ezeket vagy a két fő komponens számításánál veszik figyelembe, vagy hatásuk elhanyagolható. A számításokhoz szükséges változó adatokat csillagászati és navigációs intézetek évkönyveikben (Annales) vagy honlapjukon közlik.

Évente négy alkalommal (április 15., június 14., szeptember 1. és december 25.) az időeltérés nullává válik a helyi idő és a középidő között. A legnagyobb eltérés novemberben van, ez eléri a 16 percet.

Az elliptikus eltérés

A Nap ekliptikai hosszúsága ($\lambda$) a valódi ($\omega$) anomália alapján számítható. A Kepler-probléma (közelítő) megoldása alapján:

$\lambda (t)=\omega (t)+\psi =\psi +2\pi t+2e\cdot \sin(2\pi t)+1,25e^{2}\cdot \sin(4\pi t)+\dots [mod{(2\pi )}]$

ahol $\psi$ a perihélium ekliptikai hosszúsága és e = 0,0167 a Földpálya excentrumossága. A t időt a perihéliumátmenet időpontjától számítjuk, ami változik. Megfelelő átszámítással a korrekció fokokban, napokban, órákban illetve ezek törtrészében számítható.

Az ekliptikai eltérés

Az idő egyenletes méréséhez kitalált fiktív egyenlítői középnap az égi egyenlítőn mozog egyenletesen és nem az ekliptikán, mint a valódi Nap. A két sík hajlásszöge (az ekliptika hajlása) $\varepsilon =23,4^{\circ }$. Ezért az ekliptikán mért hosszúságnak az égi egyenlítőre eső vetületével, azaz a Nap egyenlítői koordinátájával, az $\alpha$ rektaszcenzióval kell számolni. A vetületi rövidülés a hosszúságtól is függ, a korrekciós faktor az $\epsilon$ hajlásból:

$\tau =\tan ^{2}({\frac {\varepsilon }{2}})$ , amivel a vetület:

$\alpha (t)=\alpha =\lambda -\tau \sin(2\lambda )+0,5\tau ^{2}\sin(4\lambda )\!\,$,

Az idő szinkronizálása

A két lépésben történő számításhoz az időt a Föld perihéliumátmenetétől kell számítani. Erre január 3-án kerül sor, de az átmenet időpontja változik. Egyrészt a bolygók perturbációja miatt a pálya nagytengelye lassan elfordul, másrészt az év nem pontosan 365 napos hossza miatt egy napon belül ingadozik.

Az égi koordináták kezdőpontja a tavaszpont. A naptári év hosszát a Nap két tavaszpont-átmenete határozza meg (tropikus év). Az átmenet naptári időpontja, a tavaszi napéjegyenlőség az előbbi okok miatt változik március 19-21 között. Ezen felül a tavaszpont helye a Föld tengelyének perturbációja miatt az egyenlítőn vándorol.

Az éven belüli időmérésünk kezdete január 1-jén világidőben (UTC) a $00^{h}00^{m}00^{s}$ időpont. Mivel az időegyenletnek nincs egzakt megoldása, a közelítő formulákat az alkalmazás pontossági igényéhez igazítva úgy adják meg, hogy abban a t változó helyett az év napjainak sorszáma (d) szerepel: január 1.=1, január 2.=2, …, február 1.=32, …., december 31.=365. A csillagászok inkább a Julián dátumot (JD) használják, melynek kezdete i. e. 4713. január 1. 12:00:00.

Az időegyenlet

A gyakorlatban (geodézia, navigáció stb.) a mérés a Nap (vagy közvetve más égitest) óraszögének ($\alpha$) műszeres meghatározásával történik (valódi idő). Az adott hely földrajzi hosszúsága pedig a fiktív középnap óraszögével ($\alpha _{0}$) egyezik (helyi középidő). Ezért az időegyenletet e két óraszög különbségeként adják meg, melyet a műszerrel meghatározott időhöz hozzáadva megkapjuk a középidőt:

$E=\alpha -\alpha _{0}\!\,$,

Más megközelítésben az időegyenlet definíciója

$\alpha -\mu +\psi \!\,$,

ahol $\alpha \!\,$ a valódi Nap rektaszcenziója, $\mu \!\,$ a közepes anomália, és $\psi \!\,$ a perihélium ekliptikai hosszúsága. A megfelelő gömbháromszögekből a rektaszcenzió:

$\cos(\alpha )=\cos(\omega -\psi )/\cos(\delta )\!\,$,

ahol $\omega \!\,$ a valódi anomália és $\delta \!\,$ a Nap deklinációja:

$\sin(\delta )=\sin(\mu -\psi )\sin(\varepsilon )\!\,$,

ahol $\varepsilon \!\,$ az ekliptika és az egyenlítő szöge (inklináció).

Az időegyenlet grafikonja

Közelítő formulák

E = középidő - helyi idő:

$E=0,171\sin(0,0337t+0,465)+0,1299\sin(0,01787t-0,168)\!\,$,

$E=595^{s}\sin(198^{\circ }+1,9713^{\circ }t)+441^{s}\sin(175^{\circ }+0,9856^{\circ }t)\!\,$,

Jól használható a következő algoritmus:

Legyen d = naptári nap sorszáma, azaz

Január 1. ⇒ d=1

Január 2. ⇒ d=2

$\vdots$

Legyen B értéke

fokokban: $B=360^{\circ }(d-81)/364\!\,$

illetve

radiánban: $B=2\pi (d-81)/364\!\,$

Ekkor

$E=9,87\sin(2B)-7,53\cos(B)-1,5\sin(B)\!\,$,

ahol $E\!\,$ percekben értendő.

Ezzel az approximációval készült a fenti kép.

További információk

• NASA Fotó
• Időegyenlet matematikai leírással
• Analemmára specializált lap sok illusztrációval
• Az időegyenlet grafikonja - Állandóan frissítve
• Táblázat Az időegyenletet és a Nap deklinációjat adja meg minden napra
• Időegyenlet A Royal Greenwich Observatory honlapja
• Az időegyenlet és az analemma görbe Kieron Taylor szerint.
• Brian Tung cikke benne egy link egy C programra: időegyenlet, analemma, Nap deklinácó számítása.
• Időegyenlet - Ptolemáiosz efemeridáit alkalmazó számítása
• Calculate solar time for any time of the day - Napidő kalkulátor.
• Solar Time - Napidő kalkulátor.
• Illusztrációk animáció is.

Irodalom

• Kulin György et al., A távcső világa, Gondolat, Budapest,1980.
• Budó Ágoston, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1951.