Fél nagytengely

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A fél nagytengely egy ellipszisben.

A fél nagytengely geometriai fogalom, amely ellipszisek és hiperbolák méretét jelöli.

Ellipszis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nagytengely az ellipszis legnagyobb átmérője, amely az ellipszis két csúcsa között áthalad a középponton és mindkét fókuszponton. A fél nagytengely ennek a fele; a középpontból indul az egyik fókuszponton át a csúcsig. Speciálisan, ha az ellipszis kör, akkor a fél nagytengely, és a fél kistengely is megegyezik a kör sugarával. Megfordítva, az ellipszis fél nagytengelyére gondolhatunk úgy, mint az ellipszis legnagyobb sugarára.

A fél nagytengely közvetlen kapcsolatban áll az ellipszis excentricitásával és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húrral. A következő képletekben az excentricitás e, a fél kistengely b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr fele :

b = a \sqrt{1-e^2},\,
\ell=a(1-e^2),\,
a\ell=b^2.\,

A fél nagytengely hossza éppen az ellipszis egy pontja és az egyik fókuszpont távolságának középértéke.

Helyezzük el az ellipszist úgy, hogy az egyik fókuszpontja az origóban, a másik az x tengelyen legyen! Polárkoordinátákban tekintve az ellipszis egyenletét:

r(1-e\cos\theta)=\ell.\,

Az r={\ell\over{1+e}}\,\! és az r={\ell\over{1-e}}\,\! középértéke: a={\ell\over 1-e^2}.\,

Hiperbola[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hiperbola fél nagytengelye a hiperbola két ágának távolságának fele. Szokták ennek még a mínusz egyszeresét venni, a konvencióktól függően. A következő egyenletekben a hiperbola fél nagytengelyét a, a fél kistengelyét b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr felét . Ekkor:

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1.

és

a={\ell \over e^2-1 }.

A hiperbola transzverzális tengelyének iránya megegyezik a nagytengely irányával.[1]

Parabola[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy parabola tekinthető egy ellipszisekből álló sorozat határértékének, ahol is az egyik fókusz rögzített, míg a másik mindennél messzebb kerül. Eközben a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr változatlan. Ekkor mindkét tengely hossza a végtelenbe tart; a nagytengely valamivel gyorsabban nő, mint a kistengely.

Csillagászat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Keringési idő[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A csillagászatban a fél nagytengely az égitestek ellipszis alakú pályáinak meghatározó eleme.

A keringő égitestek T keringési ideje

T = 2\pi\sqrt{a^3 \over \mu}

ahol a a pálya fél nagytengelye, és μ az alap gravitációs paraméter. Tehát a keringési idő független az excentricitástól.

A Naprendszerben a fél nagytengely és a keringési idő közötti összefüggés követi a harmadik Kepler-törvényt:

T^2 \propto a^3 \,

ahol T-t években, a-t csillagászati egységben mérik. Ez a képlet a kéttest-probléma egyszerűsített leírása. A Newton által meghatározott alak:

T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3\,

ahol G a gravitációs állandó, M a középponti, éa m a keringő test tömege. Tipikusan M nagyságrendekkel nagyobb, mint m, ezért m elhanyagolható.

Átlagos távolság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyakran mondják, hogy a fél nagytengely a keringő és a középponti test átlagos távolsága. Ez azonban nem pontos, mert a különféle paraméterezések más és más középértéket adnak:

  • A középponttól mért szög alapján vett középérték a fél nagytengelyt adja
  • A fókusztól mért szög alapján véve a középértéket a fél kistengelyt kapjuk: b = a \sqrt{1-e^2}\,\!
  • Az eltelt idő és a keringési idő hányadosával számolva
a \left(1 + \frac{e^2}{2}\right).\,
\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}.\,

Energia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a fél nagytengely kiszámítható a következőképpen:

 a = { - \mu \over {2\varepsilon}}\,

elliptikus, és ez vagy ellentettje hiperbolikus pálya esetén,

ahol  \varepsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} a specifikus orbitális energia, és  \mu = G(M+m ) \, a gravitációs együttható.

Továbbá:

  • v a keringő égitest kerületi sebessége
  • r a keringő égitest helyvektora
  • G a gravitációs állandó
  • M és m a két test tömege.

Adott össztömeg és összenergia esetén a nagytengely azonos marad, tekintet nélkül az excentricitásra és a két test tömegének arányára. Megfordítva, adott össztömeg és adott nagytengely esetén az összenergia mindig ugyanaz marad.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ellipszis kis- és nagytengelye Ez a szócikk részben vagy egészben a Semi-major axis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.