Injektív leképezés

Egy injektív függvény

Egy másik injektív függvény, ami ráképezés is

Egy nem-injektív függvény

A matematikában injekciónak, injektív leképezésnek, egy-egy értelmű leképezésnek vagy kölcsönösen egyértelmű leképezésnek nevezzük azokat a függvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. (Nem tévesztendő össze a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel, mely a bijektív függvény.)

Definíció

Legyen $A,B$ tetszőleges halmazok és $f:A\to B$ képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy $f$ injekció, ha

• tetszőleges $a,b\in A$ és $f(a)=f(b)$ esetén $a=b$.

Példák

• Az egész számok halmazán értelmezett $f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto 2a$ függvény injekció.
• A természetes számok halmazán értelmezett $f:\mathbf {N} \to \mathbf {N} ,a\mapsto a+1$ függvény injekció.
• Az egész számok halmazán értelmezett $f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto a+1$ függvény injekció.
• Tetszőleges $X$ halmazra az $id:X\to X,x\mapsto x$ identikus megfeleltetés injektív leképezés.

(Az utolsó két példa, mivel nem csak injekció, hanem egyúttal szürjekció is, ezért bijekció. Az első két példa nem szürjekció.)

Ellenpéldák

• A valós számok halmazán értelmezett $g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,g(x)=x^{n}-x$ függvény nem injekció, ugyanis , például, $g(0)=g(1)$.

Az injekció megfordítható

Egy másik definíció az injekcióra az, hogy olyan leképezés, melynek a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény, bár az így kapott új függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény képhalmazának csak egy részhalmaza. (Csak akkor egyezik meg vele, ha a kérdéses függvény egyúttal szürjekció, és ezáltal így bijekció is).

Lásd még

• Szürjekció
• Bijekció
• Izomorfizmus
• Automorfizmus
• Permutáció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik