Gauss-féle hibafüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a hibafüggvény (Gauss-féle hibafüggvénynek is hívják) egy speciális, szigmoid (szigmoid-függvény) alakú (nem elemi) függvény, mely a valószínűségszámításban, a statisztika területén, és a parciális differenciálegyenleteknél fordul elő.

Hibafüggvény

Definíciója:[1][2]

(Ha x negatív, akkor negatív integrálként értelmezik az [x,0] tartományban). A komplementer hibafüggvény (jelölése: erfc) definíciója:

Az imaginárius hibafüggvény (jelölése: erfi) definíciója:

A komplex hibafüggvény (jelölése: w(x)) (mint Faddeeva-függvényként is ismert) definíciója:

Hibafüggvény a gyakorlatban[szerkesztés]

A hibafüggvényt a méréselméletben használják (valószínűségszámítás és a statisztika területén, valamint a matematika más ágaiban is, ahol ez az elnevezés ragadt meg. A hibafüggvény kapcsolódik a kumulatív eloszláshoz , a standard normális eloszlás integráljához (“Bell görbe”)[2]:

x ≥ 0 esetén, és

x ≤ 0 esetén a hibafüggvény pozitív x értékekre helyen megadja a mérés valószínűségét, a normális eloszlású hiba esetére, ahol a szórás , és a középértéktől való távolsága kisebb mint x.[3] Ezt a függvényt a statisztikában használják bármely minta viselkedésének megbecsülésére, a népességgel kapcsolatban. Ez az alkalmazás hasonló a Q-függvényhez, mely kapcsolódik a hibafüggvény jellemzőihez.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az egyenlet azt jelenti, hogy a hibafüggvény úgynevezett páratlan függvény. Bármely z complex számra:  

ahol a komplex konjugáltja.

Ábrázolás a komplex síkon

Integrandusz  exp(–z2)
ƒ = erf(z)

Az ábrákon az ƒ = exp(–z2) és ƒ = erf(z) integranduszok ábrázolása látható a komplex z-síkon. A Im(ƒ) = 0 szint vastag zöld vonallal látható. Az Im(ƒ) negatív integer értékeit vastag piros vonal jelzi. pozitív integer értékeit vastag kék vonal jelzi. Im(ƒ)=konstans köztes szintjeit vékony zöld vonal jeleníti meg. Az Re(ƒ) = konstans köztes szintjeit vékony piros vonalak ábrázolják negatív értékekre és vékony kék vonalak pozitív értékekre. A valós tengelyen erf(z) közelít z → +∞, és –1-nél z → –∞.

Taylor-sorok[szerkesztés]

A hibafüggvény egy úgynevezett teljes függvény: nincsenek szingularitásai (kivéve a végtelenben), és a Taylor-sora mindig konvergens. Az integrál meghatározását nem lehet zárt formában, elemi függvények kifejezéseivel elvégezni, de az integrandusza Taylor-sorba fejthető lépésenként, és akkor a következő egyenletet kapjuk:

mely érvényes minden z komplex számra. A fenti sorozat iteratív megközelítése a következő formában hasznos lehet:

mert a kifejezi a szorzót, mely a kth -t (k + 1)th-ba változtatja. A hibafüggvény +∞-nél pontosan 1 (lásd még Gauss integrál). A hibafüggvény deriváltja ebből a definícióból származik:

A hibafüggvény antideriváltja:

Inverz függvény[szerkesztés]

Az inverz hibafüggvényt Maclaurin-sornak is lehet definiálni:

ahol c0 = 1 és

Az inverz komplementer hibafüggvény:

Elemi függvényekkel történő közelítés[szerkesztés]

Abramowitz és Stegun számos közelítő megoldást ad különböző pontossággal. Ez lehetővé teszi a felhasználónak, hogy kiválaszthassa a számára legalkalmasabb megközelítést. A következőkben növekvő pontosság mellett bemutatunk néhány közelítő megoldást:

    (maximális hiba: 5·10–4)

ahol a1=0.278393, a2=0.230389, a3=0.000972, a4=0.078108

    (maximális hiba: 2.5·;10–5)

ahol p=0.47047, a1=0.3480242, a2=-0.0958798, a3=0.7478556

    (maximális hiba: 3·;10–7)

ahol a1=0.0705230784, a2=0.0422820123, a3=0.0092705272, a4=0.0001520143, a5=0.0002765672, a6=0.0000430638

    (maximális hiba: 1.5·10–7)

ahol p=0.3275911, a1=0.254829592, a2=–0.284496736, a3=1.421413741, a4=–1.453152027, a5=1.061405429 A fenti megközelítő megoldások x≥0 esetén érvényesek. Negatív x esetén, ki kell használni azt a tényt, hogy erf(x) egy páratlan függvény, s így erf(x)=–erf(–x).

Egy másik megközelítés:

ahol

Ez a megközelítés igen nagy pontosságot ad a 0, és a végtelen szomszédságában, és a hiba kisebb, mint 0.00035 minden x-re. A a ≈ 0.147 értéket használva a maximális hiba lecsökken közel 0.00012-re.[4] A megközelítést invertálni is lehet az inverz hiba függvény kiszámítására:

Alkalmazás[szerkesztés]

Ha egy mérési sorozat eredményeit a normális eloszlás szórásával () írjuk le, és a várható érték 0, akkor a valószínűsége, hogy egy egyszeri mérés –a and +a közé esik pozitív a esetén. Ez hasznos, például, egy digitális kommunikációs rendszer bithibaarányának megállapításánál. A hibafüggvény és a komplementer hibafüggvény, például, a hő egyenlet megoldásánál fordul elő, amikor a határérték probléma a Heaviside-függvény által adott.

Kapcsolódó függvények[szerkesztés]

A hibafüggvény lényegében azonos a standard normális kumulatív eloszlás függvénnyel (Φ), melyet programozási nyelvekben norm(x)-nek neveznek, és csak skálázásban, és fordításban különbözik. vagy erf-, és erfc-re átrendezve:

Következésképpen, a hibafüggvény szorosan kapcsolódik a Q-függvényhez, mely a normális eloszlás farok-eloszlása. A Q-függvény kifejezhető a hibafüggvény kifejezéseivel is:

A Φ inverze úgy is ismert, mint a normális kvantilis függvény, vagy a probit-függvény, és kifejezhető az inverz hibafüggvénnyel:

A standard normális cdf-et gyakran használják valószínűségszámításban és statisztikaban, és a hibafüggvényt a matematika számos más ágában is alkalmazzák. A hibafüggvény a Mittag–Leffler függvény speciális esete, és kifejezhető, mint a Kummer-függvény:

Általánosított hibafüggvény[szerkesztés]

Általánosított hibafüggvény

Az általánosított hibafüggvény En(x):
szürke görbe: E1(x) = (1 – e –x)/
piros görbe: E2(x) = erf(x)
zöld görbe: E3(x)
kék görbe: E4(x)
sárga görbe: E5(x). Some authors discuss the more general functions:[forrás?]

Az általánosított függvényt egyenértékű módon fejezi ki x > 0 esetekre a gamma-függvény, és az inkomplett gamma-függvény.

Így a hibafüggvény meghatározható az inkomplett gamma-függvény kifejezéseivel.

Komplementer hibafüggvény iterált integráljai[szerkesztés]

A komplementer hibafüggvény iterált integráljai:

hatvány sorral:

melyből a szimmetrikus tulajdonságok következnek:

és

Implementációk[szerkesztés]

A hibafüggvény megtalálható a következő programozási nyelvekben

  • C
  • C99
  • C++: C++11
  • Fortran 2008
  • Python
  • Mathematica
  • Haskell
  • R
  • Matlab
  • Ruby
  • A Google kereső kalkulátorként működhet és kiszámolja a "erf(...)" és "erfc(...)" értékeket.

Hivatkozások[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Andrews Special functions of mathematics for engineers
  2. ^ a b Greene, William H., Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
  3. B. Van Zeghbroeck, Principles of Semiconductor Devices, University of Colorado, 2011. [1]
  4. Winitzki, Sergei: A handy approximation for the error function and its inverse (PDF), 2008. február 6. (Hozzáférés: 2011. október 3.)

Irodalom[szerkesztés]

  • Cuyt, A.A.M.; Petersen, V.; Verdonk, B.; Waadeland, H.; Jones, W.B: Handbook of Continued Fractions for Special Functions. (hely nélkül): Springer-Verlag. 2008. ISBN 9781402069482  
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds: "Chapter 7", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 9781402069482  
  • Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP: "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function". (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 9781402069482  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Külső hivatkozások[szerkesztés]