Függvénysorozatok konvergenciája

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valós analízisben függvénysorozaton olyan sorozatot értünk, melynek minden eleme egy valós függvény. A számsorozatokhoz hasonlóan értelmezhető függvénysorozatok konvergenciája is. Ennek két főbb változatát különböztetjük meg: a pontonkénti, illetve az egyenletes konvergenciát.

Pontonkénti konvergencia[szerkesztés]

Legyen az egy halmazon értelmezett függvénysorozat. Azt mondjuk, hogy pontonként konvergál az függvényhez, ha minden rögzített számra

.

Jelölése:

Tehát az értelmezési tartomány minden pontjához definiálunk egy olyan számsorozatot, melynek . eleme éppen az az érték, amit az -hez rendel. Ha az összes ilyen sorozat konvergens lesz, akkor ezek határértéke kijelöli -nek a különböző -ekhez rendelt értékeit. Ekkor azt mondjuk, hogy pontonként konvergens, és limesze az függvény.

A pontonkénti konvergencia (az egyenletes konvergenciával ellentétben) kivezet a folytonos függvények köréből, azaz még csupa folytonos függvényből álló függvénysorozat esetén sem biztos, hogy azok limesze is folytonos lesz.

Példa[szerkesztés]

Legyen . Az függvény folytonos a pozitív egész -ekre, ezért elemei is azok. Mivel a 0-hoz tart esetén és 1-hez esetén, ezért

.

Ez a függvény nyilván nem folytonos az 1 pontban.

Egyenletes konvergencia[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy egy függvénysorozat egyenletesen konvergál az függvényhez az halmazon, ha minden számhoz létezik olyan küszöbindex, hogy tetszőleges esetén minden -re teljesül, hogy

.

Jelölése: Egyenlkonv.JPG

Az egyenletes konvergencia már zárt a folytonos függvények halmazára nézve, azaz folytonos függvények limesze is folytonos.

Ha egy egy függvénysorozat egyenletesen tart -hez, akkor pontonként is. Ez fordítva nem feltétlenül igaz. A különbség lényege, hogy adott mellett az egyenletes konvergencia esetén minden -hez egy közös, míg a pontonkénti konvergencia esetben -enként különböző küszöbindex található.

Források[szerkesztés]

  • Dancs István: Analízis I.