Pontonkénti konvergencia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában a pontonkénti konvergencia az egyik mód, ahogyan függvénysorozat egy határfüggvényhez konvergálhat.

Legyen { fn } függvények egy sorozata, amelyeknek értelmezési tartománya megegyezik. Azt mondjuk, hogy az { fn } sorozat pontonként tart f-hez, ha

a tartomány minden x pontjában.

Ezt a konvergenciafajtát gyakran

jelöli. Gyakran rövidítik is a pointwise szót, a rövidítés pw; és gyakran a nyílra írják.

Tulajdonságai[szerkesztés]

A fogalmat gyakran szembeállítják az egyenletes konvergenciával, amit gyakran a nyílra írt e betű jelöl. Az egyenletes konvergencia erősebb, mint a pontonkénti, mert az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti, de a pontonkénti konvergenciából nem következik az egyenletes. Például

Folytonos sorozatok pontonkénti határfüggvénye lehet nem folytonos:

értéke 1, ha x egész, és 0, ha nem egész, így minden egész helyen szakadása van.

A pontonkénti konvergencia nemcsak valós, vagy komplex értékű függvényekre értelmezhető, hanem a függvények topologikus terek pontjaira is képezhetnek. Az egyenletes konvergencia azonban nem értelmezhető minden topologikus térbe képező függvénysorozatra, hanem metrikus, vagy általánosabban uniform terek kellenek hozzá.

Topológia[szerkesztés]

A pontonkénti konvergencia ugyanaz, mint a konvergencia az YX szorzattopológiában, ahol X az értelmezési tartomány, Y pedig a függvények értékkészleteit tartalmazó tartomány. Ha Y kompakt, akkor Tyihinov tétele miatt YX is kompakt.

Konvergencia majdnem mindenütt[szerkesztés]

A mértékelméletben szó esik majdnem mindenütt való konvergenciáról, ha a függvénysorozat tagjai mérhető halmazon definiált mérhető függvények. Ez pontonkénti konvergenciát jelent majdnem mindenütt. Egorov tétele szerint a majdnem mindenütt való konvergencia egy véges mértékű halmazon egy kisebb halmazon való egyenletes konvergenciát von maga után.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Pointwise convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.