Ermitikus mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az ermitikus mátrix, hermitikus mátrix vagy Hermite-mátrix olyan komplex négyzetes mátrix, mely egyenlő konjugált transzponált mátrixával, vagyis az i-edik sorban és j-edik oszlopban lévő elem egyenlő a j-ik sorban és i-edik oszlopban lévő elem komplex konjugáltjával, minden i és j indexre:

a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}

vagy az A* konjugált transzponálttal jelölve:

 A = A^* \quad

Például a

\begin{bmatrix}3&2+i\\
2-i&1\end{bmatrix}

Hermite-mátrix.

A főátló elemei szükségszerűen valós számok. A valós szimmetrikus mátrix a Hermite-mátrix speciális esete.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hermitikus mátrixok normális mátrixok, azaz felcserélhetők a transzponáltjukkal. A véges dimenziós spektrálelmélet szerint ezért diagonális mátrixszá transzformálhatók:

D=U^* AU,

ahol U unitér. Az így kapott D átlós mátrixok valósak; ez azt jelenti, hogy sajátértékeik valós számok, és sajátvektoraik valós vektorok. Sőt, ha A hermitikus, akkor a különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorai ortogonálisak: van egy ortonormális bázis A sajátvektoraiból.

Két Hermite-mátrix összege is Hermite-mátrix, és egy invertálható Hermite-mátrix inverze is hermitikus. A szorzatuk viszont csak akkor lesz hermitikus, ha felcserélhetők; ezért An hermitikus, ha A is az, és n pozitív egész. Az n-szer n-es hermitikus mátrixok vektorteret alkotnak a valós számok fölött, de nem a komplex számok fölött. Ennek dimenziója n2: egy szabadsági fok a főátlón levő minden egyes szám, és kettő minden egyes átló fölött levő szám miatt.

Ha egy hermitikus mátrix sajátértékei mind pozitívok, akkor a mátrix pozitív definit; ha nem negatívok, akkor pozitív szemidefinit (ekkor a nulla is lehet sajátérték). Hasonlóan definiálják a negatív definit, és a negatív szemidefinit mátrixot. Ha pozitív és negatív sajátértékek is vannak, akkor a mátrix indefinit.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]