Banach fixponttétele

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Banach-féle fixponttétel azt mondja, hogy teljes metrikus térben minden kontrakciónak („távolságzsugorító függvénynek”) létezik pontosan egy fixpontja. A tétel jelentőségét az adja, hogy az analízis olyan alapvető tételeinek, mint az inverzfüggvény-tétel, vagy Picard-Lindelöf-tétel, a bizonyítása Banach fixponttételén múlik. A tétel eredeti bizonyítása maga is konstruktív, vagyis a fixpontnak nemcsak a létezését bizonyítja, de az konkrétan (legalábbis határértékként) meg is adható, sőt, a kapott sorozat a konvergenciasebessége is jól becsülhető, így a tétel jól alkalmazható a numerikus matematikában is. A tétel a nevét Stefan Banachról kapta (1892-1945), aki 1922-ben publikálta.

A tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azokat a Lipschitz-függvényeket, amiknek a Lipschitz-konstansa kisebb mint egy, kontrakciónak nevezzük, tehát f:XX kontrakció, ha van olyan L<1, hogy minden X-beli x-re és y-ra:

d(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)

Banach fixponttétele. Legyen X nem üres tér metrikus tér, és f:XX kontrakció. Ekkor pontosan egy olyan x* van X-ben, amire f(x*)=x*.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden kontrakciónak legfeljebb egy fixpontja van. Legyen ugyanis x és y f kontrakció két fixpontja. Ekkor x és y távolsága ugyanakkora, mint f(x) és f(y) távolsága, de alkalmas L egynél kisebb Lipschitz-konstansra:

d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y),

amiből kapjuk, hogy d(x,y)=0, amivel a fixpont unicitását igazoltuk.

Legyen x0 X tetszőleges eleme, és definiáljuk rekurzióval az xn+1=f(xn) sorozatot, erről fogjuk belátni, hogy konvergens, és a határértéke fixpontja f-nek. Először is tegyük fel, hogy xn sorozat konvergens, és határértéke x*. Mivel f Lipschitz, folytonos, így az átviteli elvet alkalmazva:

\lim\limits_n f(x_n)=f(x^*)

Tekintve, hogy f(xn)=xn+1, a baloldali határérték is x*, így x* valóban fixpont. Csak azt kell megmutatnunk, hogy xn sorozat konvergens. Teljes indukcióval rögtön adódik, hogy:

d(x_n,x_{n+1})\leq L^nd(x_0,x_1)

Legyen n<m. A háromszögegyenlőtlenség ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy

d(x_n,x_m)\leq d(x_n,x_n+1) + \ldots + d(x_m-1,x_m)

ahol a jobboldalt az előző becsléssel felűlről becsülhetjük:

d(x_n,x_n+1) + \ldots + d(x_m-1,x_m)\leq (L^n+\ldots+L^{m-1})d(x_0,x_1)

Alkalmazva a mértani sorozat összegképletét:

d(x_n,x_m)\leq L^n \frac{1-L^{m-n}}{1-L}d(x_0,x_1)

mivel 1-Lm-n<1, a jobboldal ismét felülről becsülhető:

L^n \frac{1-L^{m-n}}{1-L}d(x_0,x_1)\leq \frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1)

Legyen ε>0 tetszőleges, és N olyan, hogy

\frac{L^N}{1-L}d(x_0,x_1)<\varepsilon

Ha N<n<m, akkor az előző becslést alkalmazva

d(x_n,x_m)\leq\frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1),

ahol a jobboldal a feltételek szerint:

\frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1)<\frac{L^N}{1-L}d(x_0,x_1),

azaz

d(x_n,x_m)<\varepsilon,

tehát xn sorozat Cauchy, és a tér Banach, így a sorozat konvergens, amivel a bizonyítást befejeztük.

Konvergencia-sebesség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bizonyításnál felhasznált sorozat konvergencia-sebességére a bizonyításból is kiolvasható, hogy

d(x_n,x^*)\leq \frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1).

Mint láttuk,

d(x_n,x^m)\leq \frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1),

és mivel a jobboldal független m-től, m-mel tartva a végtelenhez, kapjuk a becslést.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A tétel egyik legfontosabb alkalmazása a Picard-Lindelöf-tétel bizonyítása, ami bizonyos közönséges differenciálegyenletek megoldásának egyértelmű létezéséről szól. A bizonyítás során a differenciálegyenlet keresett megoldását egy olyan alkalmas integráloperátor fixpontjaként állítjuk elő, ami folytonos függvényeket folytonos függvényekbe visz. A Banach-fixponttétellel a fixpont egyértelműségét igazoljuk.
  • A fixponttétel másik fontos következménye, hogy az identitás kicsiny Lipschitz-perturbációi bilipschitz homeomorfizmusok. Ez utóbbi ténynek közvetlen folyománya az inverzfüggvény-tétel.
  • A numerikus analízisben a gyökközelítő módszerek tekintélyes osztályát adják az úgynevezett fixpontiterációs módszerek, amelyek azon az elven nyugszanak, hogy az f(x)=0 gyökét egy olyan alkalmas függvény fixpontjaként állítják elő, ami a keresett gyök valamilyen környezetén kontrakció. Ezen módszerek tipikus példája elég sima függvényekre a Newton-módszer és lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldására a Jacobi-iteráció.

„Beragadt” koszinuszgomb[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Banach-féle fixponttétel érdekes közvetlen alkalmazása a következő feladat: mi történik, ha egy tetszőleges számra a számológéppel egymás után sokszor alkalmazzuk a koszinusz függvényt? Legyen x0 tetszőleges valós szám, cos x0 ekkor már [-1,1] intervallumba esik. Ezen az intervallumon a koszinusz kontrakció, lévén a deriváltja abszolútértékének a korlátja sin 1 < 1, így létezik fixpontja. A fixponttétel bizonyításakor használt sorozat épp a koszinusz iterálása, amiről beláttuk, hogy koszinusz fixpontjához tart, így bármely számról is indulunk a koszinusz gomb kitartó nyomkodásával a cos x=x egyenlet egyetlen gyökét közélítjük.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rudin, W. : A matematikai analízis alapjai; Műszaki Könyvkiadó, 1978
  • Komornik Vilmos: Valós analízis előadások, TypoTEX, 2003