Artin L-függvény
Az Artin L-függvény az algebrai számelmélet egyik központi objektuma, ami számtestek egy Galois-bővítésének aritmetikai tulajdonságainak összességét kódolja egy analitikus objektumban (azaz egy függvényben). A számelmélet számos fontos kérdése megfogalmazható az Artin L-függvények viselkedése, speciálisan az egyes helyeken felvett értékein keresztül. Az Artin L-függvény általánosítja a Riemann ζ-függvény, a Dedekind ζ-függvény illetve a Dirichlet L-függvény fogalmát.
Komplex Artin L-függvények
[szerkesztés]Legyen számtestek egy Galois-bővítése, és jelölje illetve az egészek gyűrűit bennük. Legyen egy prímideál, és legyen egy fölötti prím; ekkor az maradéktest egy véges test, az véges test egy Galois-bővítése. A bővítés Galois-csoportja ciklikus, és egy generátora a Frobenius-leképezés, ami az egy elemét -edik hatványra emeli (ezt a kitevőt a abszolút normájának nevezik).
Jelölje illetve a -hez rendelt felbontási részcsoportot illetve inerciarészcsoportot. A faktorcsoportról a maradéktestek Galois-csoportjára képző természetes leképezés egy csoportizomorfizmus, így a faktorcsoport is ciklikus, és egy generátora a jobb oldali Frobenius-leképezés ősképe, jelölje ezt :
Legyen a Galois-csoport egy reprezentációja. Jelölje az inerciarészcsoport alatt invariáns vektorok alterét. A faktorcsoport hat a téren, így a
karakterisztikus polinom jóldefiniált. Továbbá megmutatható, hogy ez csak a prímideáltól függ, és nem műlik a prím megválasztásán.
Az bővítéshez és a reprezentációhoz tartozó Artin L-függvényt a következő képlet definiálja:[1]
- ,
ahol végigfut a K prímideáljain, és s egy komplex szám valós résszel. A jelölésben a külső L a függvényt jelöli, a belső L a számtestet; a különbséget bizonyos források tipográfiai stilizálással hangsúlyozzák. Az egyes prímekhez tartozó tényezőkre gyakran Euler-faktor néven hivatkoznak, a Riemann illetve Dedekind-féle zéta-függvények Euler-szorzatalakjával való hasonlóság miatt.
A függvény abszolút és egyenletesen konvergens a félsíkon bármely -ra, és meromorf kiterjeszthető az egész komplex számsíkra.[2] Mivel a komplex reprezentációkat meghatározza a karakterük, a függvényt gyakran jelöli, ahol a reprezentáció karaktere. A komplex Artin L-függvény funktoriális a testbővítésre illetve a karakterre nézve.[3]
A triviális karakter esetében az Artin L-függvény megegyezik a K test Dedekind zéta-függvényével, és a fenti definícióban szereplő szorzat megegyezik a zétafüggvény Euler-szorzatalakjával. Bár a Dedekind zéta-függvény nem az Euler-szorzatalak mellett egy sor összegeként is definiálható, ez utóbbi tulajdonság nem terjed ki az Artin L-függvényekre.
Az osztálytestelméleten keresztül leírható az Artin L-függvények és a Hecke L-függvények közötti kapcsolat,[4] ezen keresztül pedig az utóbbiak analitikus tulajdonságai átvihetők az Artin L-függvényekre.
p-adikus Artin L-függvények
[szerkesztés]Legyen p egy rögzített prímszám. A komplex Artin L-függvények p-adikus módszerekkel is tanulmányozhatók. A komplexből a p-adikus világba való átmenetet p-adikus interpolációnak nevezik. A p-adikus interpoláció alapgondolata az, hogy a fenti komplex Artin L-függvényből egy kis módosítással egy olyan függvény nyerhető, ami a p-adikusan „jól” viselkedik. Konkrétan a p prím feletti Euler-faktorok azok, amik p-adikusan „rosszul” viselkednek, ezért ezeket kell eltávolítani az Euler-szorzatból.
A p-adikus interpoláció elméletét Kubota és Leopoldt (1964) dolgozták ki a Riemann-féle zétafüggvényre.[5] Az Artin L-függvényekre vonatkozó általánosítást Pierrette Cassou-Noguès (1979) illetve Deligne és Ribet (1980) adták meg teljesen valós számtestek bővítéseinek egydimenziós karakterei esetében.[6][7] A magasabb dimenziós karakterekre vonatkozó általánosítás Greenberg (1983) munkája.[8]
Az így kapott p-adikus Artin L-függvény egy függvény, ha nem a triviális karakter, és egy függvény, ha a triviális karakter. Itt a komplex p-adikus számok testét jelöli. Ha egy (nem kanonikus) testizomorfizmus, akkor a komplex Artin L-függvényekkel való kapcsolat a következő:
- ,
ahol a p-adikus körosztási karakter véges része (a Teichmüller-karakter), és az egyenlőség az imént fixált testizomorfizmuson keresztül értendő.
A fenti p-adikus L-függvények központi szereppel bírnak a számtestek Iwasawa-elméletében. Az Iwasawa-elmélet alapvető felismerése, hogy véges testbővítések külön-külön való tanulmányozása helyett gyülölcsözőbb megközelítés ilyen bővítések végtelen családjait vizsgálni. Pontosabban olyan Galois-bővítésekről van szó, amiknek a Galois-csoportja a p-adikus egészek additív csoportjával izomorf. Ilyenkor az Iwasawa-elmélet központi sejtése – ami bizonyos esetekben bebizonyított tétel – egy kapcsolatot ír le egyrészt az egyes véges bővítésekhez kapcsolt p-adikus L-függvények, másrészt a testbővítés közbülső testjeihez rendelt osztálycsoportok között. Ennél általánosabb kontextusban is lehet Iwasawa központi sejtésekről beszélni: ezek mindig egy analitikus objektum (itt egy p-adikus L-függvényt) és egy algebrai objektum (itt az osztálycsoportok) közötti kapcsolatot írnak le.
A fenti p-adikus L-függvények mind egy-egy karakterhez vannak csatolva. Ritter és Weiss (2004) bevezettek egy úgynevezett ekvivariáns p-adikus Artin L-függvényt, ami egy adott bővítés Galois-csoportjának összes karakterét egyszerre kezeli.[9] Ezekkel az objektumokkal az ekvivariáns Iwasawa-elmélet foglalkozik.
Artin-sejtések
[szerkesztés]A komplex Artin L-függvények a priori meromorfak a komplex számsíkon, így természetesen merül fel a kérdés, hogy milyen szingularitásokkal bírnak. Ha a triviális karakter, akkor a Dedekind-féle zéta-függvény: ennek egyszeres pólusa van -nél, és mindenütt másutt holomorf. Az Artin-sejtés azt mondja ki, hogy ha nem a triviális karakter, akkor egész függvény.[10] Az Artin-sejtés bizonyítva van abban az esetben, amikor az L/K bővítés Galois-csoportja Abel-csoport. Nem Abel-csoportokra a az Artin-sejtés nyitott probléma.
Ha egy lineáris karakter, akkor Cassou-Noguès és Deligne–Ribet munkájából következik, hogy a p-adikus Artin L-függvény kifejezhető egy hányadosként. Itt egy fölötti formális hatványsor, ahol azon test egészeinek gyűrűje, ami -ből értékeinek adjungálásával jön létre. A nevező pedig egy explicit leírható legfeljebb elsőfokú polinom. Greenberg magasabb dimenziós karakterekre való kiterjesztésében ez az eredmény annyiban változik, hogy ilyenkor két hatványsor hányadosa: ez a Greenberg által alkalmazott Brauer-féle indukciós módszer velejárója. A Greenberg által megfogalmazott p-adikus Artin-sejtés erről a hányadosról szól. Greenberg két sejtést tett:[11]
- ;
Greenberg megmutatta, hogy az első sejtés következik az Iwasawa központi sejtésből, amit ebben a kontextusban végül Wiles (1990) bizonyított be: ezzel az első sejtés is bizonyítva lett.[12] A második, erősebb sejtést Ritter–Weiss (2004) igazolta.[13]
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Neukirch 1992 (10.1)
- ↑ Neukirch 1992 §12
- ↑ Neukirch 1992 (10.4)
- ↑ Neukirch 1992 (10.6)
- ↑ Koblitz Chapter II
- ↑ Pi. Cassou-Noguès 1979
- ↑ Deligne–Ribet 1980
- ↑ Greenberg 1983
- ↑ Ritter–Weiss 2004
- ↑ Neukirch 1992 527. o.
- ↑ Greenberg 1983 82. o.
- ↑ Wiles 1990 Theorem 1.1
- ↑ Ritter–Weiss 2004 Remark (G)
Források
[szerkesztés]- ↑ Pi. Cassou-Noguès 1979: Cassou-Noguès, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911
- ↑ Deligne–Ribet 1980: Deligne, Pierre & Ribet, Kenneth A. (1980), "Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields", Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237
- ↑ Greenberg 1983: Ralph Greenberg (1983. március). „On p-adic Artin L-functions”. Nagoya Mathematical Journal 89, 77–87. o. DOI:10.1017/S0027763000020250.
- ↑ Koblitz 1984: Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3
- ↑ Neukirch 1992: Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. (németül) Berlin: Springer-Verlag. 1992. ISBN 3-540-54273-6
- ↑ Ritter–Weiss 2004: Jürgen Ritter, Alfred Weiss (2004. december 1.). „Toward equivariant Iwasawa theory, II”. Indagationes Mathematicae 15 (4), 549–572. o. DOI:10.1016/S0019-3577(04)80018-1.
- ↑ Wiles 1990: Andrew Wiles (1990. augusztus 6.). „The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields”. Annals of Mathematics 131 (3), 493–540. o.