Dirichlet-féle L-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában a Dirichlet-féle L-sor egy

alakú függvény, ahol χ egy Dirichlet-karakter, és s komplex szám, aminek valós része nagyobb, mint 1. Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető a teljes komplex síkon meromorf függvénnyé. Ez a Dirichlet-féle L-függvény. Jelölése L(s, χ).

Ezeket a függvényeket Dirichlet után nevezték el, aki egy 1837-es cikkében vezette be őket, hogy bebizonyítsa a számtani sorozatokban előforduló prímekről szóló tételt, amit szintén róla neveztek el. A bizonyításban belátja, hogy L(s, χ) s = 1-ben nem nulla. Sőt, ha χ principális, akkor s = 1-ben elsőrendű pólusa van.

Gyökök[szerkesztés]

Ha a χ primitív karakter értéke χ(−1) = 1, akkor L(s,χ)-nek gyökei a páros negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke. Ha a χ primitív karakter értéke χ(−1) = −1, akkor L(s,χ)-nek gyökei a páratlan negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke.

A Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlóan nincsenek gyökök a Re(s) = 1 tartományon és azon túl. Például, ha χ a q modulus nem valós karaktere, akkor ha

akkor β + iγ egy nem valós komplex gyök.[1]

Ahogy a Riemann-féle zéta-függvényhez tartozik a Riemann-hipotézis, úgy a Dirichlet-féle L-függvény az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik.

Euler-szorzat[szerkesztés]

Mivel a χ egy Dirichlet-karakter, azért χ teljesen multiplikatív, és L-függvénye felírható az abszolút konvergencia félsíkján Euler-szorzatként:

ahol a szorzat befutja az összes prímet.[2]

Függvényegyenlet[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy χ a k modulus primitív karaktere. Definiáljuk a következőket:

ahol Γ a gamma-függvény és az a-t meghatározza az

egyenlet. Ekkor teljesül a következő függvényegyenlet:

Itt τ(χ)a Gauss-összeg

Jegyezzük meg, hogy |τ(χ)| = k1/2.

Kapcsolat a Hurwitz-féle zéta-függvénnyel[szerkesztés]

A Dirichlet-féle L-függvények felírhatók Hurwitz-féle zéta-függvények lineáris kombinációiként a racionális helyeken. Rögzítve a k ≥ 1 egészet, a modulo k karakterek Dirichlet-féle L-függvényei felírhatók ζ(s,q) konstans együtthatós lineáris kombinációjaként, ahol q = m/k és m = 1, 2, ..., k. Eszerint racionális helyekre a Hurwitz-féle zéta-függvény analitikus tulajdonságai kapcsolatban állnak a Dirichlet-féle L-függvényekkel. Speciálisan, legyen χ egy modulo k karakter. Ekkor Dirichlet-féle L-függvénye:

Továbbá egy triviális karakter Dirichlet-féle L-függvénye a (ekkor a k modulus prím) a Riemann-féle zéta-függvény:

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Montgomery, Hugh L.. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, Regional Conference Series in Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 163. o. (1994). ISBN 0-8218-0737-4 
  2. Apostol 1976, Theorem 11.7

Források[szerkesztés]

  • Sablon:Apostol IANT
  • Sablon:Dlmf
  • H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer (2000). ISBN 0-387-95097-4 
  • Dirichlet, P. G. L. (1837). „Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält”. Abhand. Ak. Wiss. Berlin 48.  
  • Sablon:Springer

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dirichlet L-function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.